Условия задачи изобразим на рисунке
Требуется найти угол ВАС по его проекции ВпАпСп на плоскость П. Величина угла γ (угол наклона плоскости проецируемого угла ВАС к плоскости проекции П) известна. Угол γ, также является углом между перпендикулярами АD и АпDп, построенным из вершин углов А и Ап к линии пересечения плоскости проецируемого угла ВАС с плоскостью проекции П. На рисунке эта линия обозначена буквой l. Перпендикуляры АD и АпDп делят каждый свой угол на углы α, β и αп, βп, соответственно.
Решение задачи можно свести к отысканию углов α и β по отдельности и последующему суммированию этих углов.
Рассмотрим нахождение величины одного из этих углов на примере угла β.
Угол β вместе с линией пересечения l образует прямоугольный треугольник. Одна из сторон этого треугольника является перпендикуляром к линии пересечения плоскости проецируемого угла с плоскостью проекции П. Все эти свойства полностью проецируются на плоскость проекции П в виде проекции треугольника. Угол βп есть проекция угла β. Его величина известна по условию задачи. Угол наклона плоскости проецируемого угла к плоскости проекции П также известен и обозначен символом γ. В пространственной системе координат всё это можно изобразить на таком рисунке.
Проецируемый угол β изображён красным. Его проекции на плоскость координат XOZ и параллельную ей плоскость П полностью идентичны друг другу и нанесены на рисунок зелёным цветом. Кроме угла γ в решении задачи можно использовать угол φ (φ = 90°- γ).
Для отыскания величины угла β можно использовать любой из двух вариантов его проекции.
Рассмотрим наиболее удобный случай – проекцию в плоскости П, то есть треугольник AпOпBп.
Катеты треугольников AOB и AпOпBп, противолежащие углам β и βп совпадают и величины их равны
|AB| = |AпBп |.
Также |AB| = |OB|·tg(β),
и |AпBп | = |OпBп |·tg(βп),
соответственно |OB|·tg(β) = |OпBп |·tg(βп).
Пояснение
Если для определения взаимосвязи величин проецируемого угла и его проекции используется угол между плоскостью проецируемого угла и плоскостью проекции, то применяется косинус этого угла.
Если для этого используется угол между плоскостью проецируемого угла и перпендикуляром к плоскости проекции, то применяется синус этого угла.
Полученные, на примере параллельного проецирования, формулы справедливы и для случая центрального проецирования. Параллельное проецирование является частным случаем центрального проецирования при бесконечном удалении центра проецирования от плоскости проекций.
Рассмотрим параллельное проецирование угла β на угол βп. Каждой точке, принадлежащей сторонам проецируемого угла β, соответствуют точки на сторонах угла-проекции βп. Их бесконечное множество. Если через это множество точек, соответствующих друг другу провести прямые, то эти прямые будут взаимно параллельны и образуют две пересекающиеся плоскости. Линия пересечения плоскостей будет проходить через вершины углов β и βп. В вышеприведённом примере, в пространственной системе координат, это выглядит так.
Вместо бесконечного множества соответствующих друг другу пар точек на рисунке изображены только восемь пар. Восемь прямых, проведённых через эти пары точек лежат в плоскостях α и ώ. Образованных на самом деле бесконечным числом подобных прямых. Соответственно и стороны углов β и βп принадлежат этим плоскостям α и ώ. Линией пересечения этих плоскостей, в данном случае, является ось OY системы координат. Итак, мы имеем две плоскости, построенные на сторонах проецируемого угла β и угла-проекции βп, и пересекающиеся по линии совпадающей с осью пространственной системы координат.
Возьмём произвольную точку F на этой линии пересечения плоскостей α и ώ. Проведём через эту точку некоторое количество прямых, лежащих в плоскостях α и ώ. Этих прямых может быть бесчисленное множество. Часть из них будет проходить через стороны проецируемого угла β и угла-проекции βп, и образовывать при этом на этих сторонах пары точек, соответствующих друг другу уже в центральной проекции с центром проекции в точке F.
В данном примере центр проекции F может быть выбран произвольно на оси OY, за исключением области между точками O и Oп. Вариантов выбора бесчисленное множество.
Итак, в единственном случае параллельной проекции угла β на угол βп существует бесконечное число разнообразных случаев центральной проекции. И во всех этих случаях величины углов β, βп, γ и φ остаются неизменными. Следовательно, формулы, полученные выше, для определения натуральной величины угла β по проекции этого угла βп, в случае параллельного проецирования, верны и для любых случаев центрального проецирования, если центры проекций лежат на прямой линии, проходящей через вершину проецируемого угла и вершину его проекции.
Для примера использования полученных формул определим угол наклона к горизонту и азимут этого наклона знаменитой Пизанской башни по панорамным фотоснимкам с Гугл-карты. Поскольку неизвестных величин две, то для решения этой задачи потребуется два панорамных снимка с разных точек в окрестности Пизанской башни. Перед копированием фотоснимков с панорам Гугл-карт, поворачиваем их так, чтобы башня находилась в центре кадра, а вертикальные стены других зданий в окрестности башни, выглядели действительно вертикальными.
Первая точка: широта 43,72267°; долгота 10,39442°.
Вторая точка: широта 43,72354°; долгота 10,39743°.
Координаты самой Пизанской Башни:
широта 43,722(7)°; долгота 10,3963(8)°.
Угол φ наклона главной оптической оси объектива фотокамеры к плоскости угла наклона башни определим по азимуту наклона башни и азимуту самой башни с места фотосъёмки.
Азимут башни с места фотосъёмки можно определить по координатам башни и места съёмки, используя готовые ресурсы в Интернет, например, «Калькулятор азимута» https://www.omnicalculator.com/other/azimuth
Азимут направления от первой фотокамеры на Пизанскую башню
Azк1=85,7°.
Азимут направления от второй фотокамеры на башню
Azк2=224,63°.
Изобразим схему для определения угла наклона главной оптической оси объектива фотокамеры к плоскости угла наклона башни.
Для первой фотокамеры
φ1=AzБ - AzК1
Для второй фотокамеры
Так как для обеих точек фотосъёмки tg(β) имеет одно и тоже значение, то
Теперь измерим на снимках тангенсы проекций угла наклона Пизанской башни.
Копируем фотографию в Word. Строим прямую линию вдоль стены башни при помощи функции «Вставка». Строим прямоугольник так, чтобы эта прямая линия проходила точно по его диагонали.
От точности этих построений зависит точность определения угла наклона башни. Для повышения точности можно использовать увеличительное стекло.
Выделяем этот прямоугольник и просматриваем его размеры.
Отношение высоты прямоугольника к ширине и есть искомый тангенс проекции угла наклона башни.
Подставив полученные значения азимутов направлений от фотокамер на Пизанскую башню и тангенсы проекций угла наклона этой башни в выражение (3), получим значение тангенса азимута наклона башни
tg(AzБ)= -0,1467431.
Так как тангенс угла является периодической функцией, то его арктангенс будет представлен рядом значений с шагом 180°: -8,348°; 171,652°; 351,652°…
Пизанская башня наклонена в южную сторону, следовательно, значение азимута её наклона
AzБ= 171,652°.
Теперь рассчитаем тангенс угла наклона башни по формуле (1) для первой точки съёмки
