Что такое внутренность в математике? Одно из важнейших понятие теории множеств

Приветствую Вас, сегодня я хочу продолжить тему, которая касается основных понятий, которые относятся к теории множеств и её логичному расширению - науке топологии. В прошлых материалах мы очень подробно рассмотрели открытые и замкнутые множества и все возможные их конфигурации. Прежде, чем переходить к чтению этой статьи ознакомьтесь со статьями в подборке:

Внутренность

Напомню, что определение открытого множество опиралось на понятие внутренней точки - т.е. такой точки, для которой найдется окрестность, лежащая в множестве.

Рассмотрим множество Х - открытое. По определению в нём все точки являются внутренними, ведь даже для самых близких к пунктирной линии точек можно найти окрестность. полностью принадлежащую Х.

Т.е. для открытого множества внутренность - это оно само. Таким образом, мы получаем еще одно определение открытого множества как наибольшего открытого множества Х, входящего в Х.

Множество всех внутренних точек Х называется внутренностью, но внутренность - это еще и унарная операция - у неё может быть только единственный аргумент.

Что будет, если пытаться найти внутренность замкнутого множества? Посмотрим внимательно на рисунок. Для точек на сплошной линии (мы их называем предельными) невозможно найти окрестность, полностью лежащую в Y. Следовательно, чтобы найти внутренность нужно исключить границу из множества Y:

И в этом и прошлом случаях мы считаем, что кроме X и Y других множеств не существует. В обратном случае мы можем ввести еще и понятие не пустой внешности

Давайте поразмышляем. Возьмем одну из отдельно стоящих точек. Есть ли у неё какая-либо окрестность, принадлежащая Y? Очевидно (в общем случае с учетом того, что мы еще не ввели понятие топологического пространства, аксиом отделимости и т.д.), что нет, и внутренность остается той же, как и рисунком выше.

Внутренность отдельной точки равняется пустому множеству

Мы вполне можем применить операцию взятия внутренности и к пустому множеству и, естественно получим пустое множество.

Операция взятия внутренности является идемпотентной, т.е. даёт тот же результат при последующих применениях, как и при первом. Ну и напоследок стандартны примеры с вещественной прямой:

Важно еще упомянуть вот какой момент. Внутренность любого множества Х - открытое множество, но в самом начале мы определили его как объединение отдельных точек - в нашем понимании замкнутых множеств. Помните прошлую статью? В этом нет никакого парадокса, ведь объединение бесконечного набора замкнутых множеств вполне может привести нас к множеству открытому.

P.S. Можно рассмотреть объединение открытых множеств - окрестностей внутренних точек. Это гарантированно нас приведет к открытому множеству при объединении!

• TELEGRAM и Вконтакте- там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.