Приветствую Вас, уважаемые Читатели! После длительного перерыва продолжаем беседу, посвященную основаниям математики. В прошлых материалах, которые Вы можете найти в подборке, мы рассмотрели, что может произойти при объединении и пересечении открытых множеств и пересечении замкнутых, упустив не менее интересный случай объединения замкнутых множеств. Сегодня исправим этот недостаток.
Случай 1
Естественно, если объединить два отрезка (напомню, что отрезок - замкнутое множество, т.е. содержащее все свои предельные точки), расположенные на вещественной оси таким образом, мы получим замкнутое множество.
Случай 2
Точка так же является замкнутым множеством и отдельная точка, следуя формальному определению. Объединение с отрезком, таким образом, тоже.
Случай 3
Замкнутый луч, как мы уже ранее обсудили, так же является замкнутым множеством, как и их объединение.
Можно еще придумать некоторое множество тривиальных конфигураций, но мы перейдем к более интересной конструкции
Случай 4
Рассмотрим объединение таких отрезков, очевидно, что оно будет совпадать с наибольшим из них. Но что, если мы продолжим этот путь в бесконечность, т.е. рассмотрим объединение бесконечного количества замкнутых множеств?
Невероятно, но мы получили, что при объединении бесконечного количества замкнутых множеств, можно получить открытое множество.
Именно из-за этого контрпримера (вместе с аналогичным для открытых множеств, где бесконечное пересечение могло быть замкнутым) в двух способах определения термина "топологическое пространство" звучат особенные формулировки, которые при первом прочтении кажутся "высосанными из пальца".
Подробнее поговорим об этом, когда определим родственные открытости и замкнутости определения замыкания и внутренности. Спасибо за внимание!