30-31 мая добавлены новые решения задач.
В опубликованной ранее заметке приведены хорошие задачи и хорошие способы их решения. Решения некоторых задач, как мне показалось, можно упростить. Но, возможно, это дело вкуса — заинтересованный читатель сам разберёт, какой способ решения для него проще.
Рассмотрим решение второй задачи из списка (авторское решение см. по сноске после задачи).
Скоро ЕГЭ. Повторяем. Сложные задачи ЕГЭ-2020 | Наблюдатель
Санкт-Петербург, № 16
Краснодар, № 16
Дан прямоугольный треугольник ABC. На катете AC отмечена точка M, а на продолжении катета BC за точку C — точка N так, что CM = CB и CA = CN.
а) Пусть CH и CF — высоты треугольников ABC и NMC соответственно. Докажите, что CF и CH перпендикулярны.
б) Пусть L — это точка пересечения BM и AN, BC = 2, AC = 5. Найдите ML.
Решение. а) Проведём отрезок AN. Пусть прямая BM пересекает AN в точке L и прямая MN пересекает AB в точке D.
В треугольнике BCM катеты BC и CM равны по условию, поэтому угол MBC равен 45 градусов. В треугольнике ACN катеты AC и CN равны по условию, поэтому угол ANC равен 45 градусов. Тогда в треугольнике BLN угол L прямой, значит, BL — высота треугольника ABN. Тогда M — точка пересечения двух высот BL и AC треугольника ABN.
Так как три высоты треугольника пересекаются в одной точке, то ND — высота треугольника ABN. Тогда в четырёхугольнике CNDF три угла прямые, значит, и четвёртый угол прямой, то есть отрезки CF и CH перпендикулярны.
Краснодар, № 17
В кредит взяли 220 тыс. рублей на 5 лет под r % годовых. По условиям кредита, на конец первых трех лет задолженность остается неизменной и равной 220 тысячам рублей, а выплаты последних двух лет равны. На конец пятого года кредит должен быть погашен. Найдите r если известно, что сумма всех выплат составит 420 тысяч рублей.
Решение. Так как первые три года остаток долга равнялся сумме кредита 220 (здесь и далее все суммы выражены в тыс. р.), то в каждый из этих трёх лет заёмщик выплачивает кредитору только проценты, начисленные на равные остатки долга, то есть по 220 ∙0,01r = 2,2r в год, а за три первых года — 6,6r.
В следующие два года заёмщик выплатит двумя равными суммами
420 – 6,6r, а в каждый из этих двух лет — сумму 210 – 3,3r.
В начале 4-го года сумма составит 220 + 2,2r, после уплаты 210 – 3,3r остаток долга составит
220 + 2,2r – (210 – 3,3r) = 10 + 5,5r.
Краснодар, № 18
Краснодар, № 19
На доске написано несколько различных натуральных чисел, которые делятся на 3 и оканчиваются на 4.
а) Может ли сумма составлять 282?
б) Может ли их сумма составлять 390?
в) Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна 2226?
Решение. а) Сумма чисел, оканчивающихся на 4, будет оканчиваться на 2, если в сумме 3 слагаемых, 8 слагаемых, … Попробуем найти 3 слагаемых из арифметической прогрессии 24, 54, 84, 114, 144, 174, 204, …,
24 + 54 + a = 282 (где a — некоторый член арифметической прогрессии).
Так как a = 282 – 24 – 54 = 204, а 204 является членом арифметической прогрессии, то ответ в задании а): да.
б) Сумма чисел, оканчивающихся на 4, будет оканчиваться на 0, если в сумме минимум 5 слагаемых, но наименьшая сумма пяти слагаемых это
24 + 54 + 84 + 114 + 144 = 420 > 390,
следовательно, получить сумму 390 нельзя.
Ответ в задании б): нет.
в) Сумма чисел, оканчивающихся на 4, будет оканчиваться на 6, если в сумме 4, 9, 14, 19, … слагаемых. При этом число слагаемых будет наибольшим, если сумма составлена из возможно меньших членов арифметической прогрессии 24, 54, 84, 114, 144, 174, 204, 234, 264, …
Для 14 слагаемых самая маленькая сумма равна сумме первых 14 членов арифметической прогрессии с первым членом 24 и разностью d = 30. Она равна 3066, что больше 2226, следовательно, 14 чисел на доске записать не могли.
Выясним, могли ли записать 9 чисел. Сумма первых 9 членов арифметической прогрессии с первым членом 24 и разностью 30 равна
24 + 54 + 84 + 114 + 144 + 174 + 204 + 234 + 264 = 1296,
её надо увеличить на 930, чтобы получить 2226. Заметим, что 930 = 31d. То есть, прибавив к одному члену прогрессии 31d, мы получим член той же прогрессии:
24 + 54 + 84 + 114 + 144 + 174 + 204 + 534 + 1194 = 2226.
Ответ в задании в): 9.
Ответ. а) да; б) нет; в) 9.