Всем привет! В предыдущей статье мы с Вами разбирали задание из ЕГЭ по базовой математике, где рассмотрели все виды уравнений, которые могут Вам встретиться на экзамене и выяснили, что уравнения не так уж и сложно решать, если владеть определёнными знаниями и выучить некоторые основные формулы. И я решил, что раз уж мы с Вами затронули тему ЕГЭ, так давайте же решим задание и из ЕГЭ по профильной математике. Сегодня мы с Вами разберёмся с одним из самых сложных заданий тестовой части пробника по профильной математике, и рассмотрим задания на нахождения точек минимума/максимума функции, а также разберём, как находить максимальные и минимальные значения функции на отрезке. Погнали!
Задание №11 (77439) (Источник)
Начнём мы с самой лёгкой функции, которая может Вам встретиться на экзамене. Рассмотрим следующий пример:
Здесь нас просят найти точку максимума функции. Как же это сделать? Для начала, мы находим все точки экстремума функции. Для этого мы берём, находим производную функции, приравниваем её к нулю, решаем уравнение относительно независимой переменной функции «x», находим все его корни, и в конечном итоге получаем все абциссы точек экстремума. Находим производную нашей функции:
Приравниваем нашу производную к нулю и решаем лёгкое уравнение относительно переменной «x».
У нас получились корни уравнения x = 0; x = 6 — это и есть наши точки экстремума. Осталось определить точки минимума и точки максимума, как же это сделать? Для этого мы берём, и смотрим, как ведёт себя производная до точки экстремума и после неё. Если производная до точки экстремума была меньше нуля, а после неё — больше нуля — то это точка минимума. Если же производная до точки экстремума была больше нуля, а после неё — меньше нуля — то это точка максимума. Это связано со свойством, что когда производная в некой точке больше нуля — то функция возрастает, и наоборот. Проанализируем нашу производную, и найдём нашу точку максимума.
Всё, вот мы с Вами и решили первое задание, и наш ответ — 6. Это было не так уж и сложно.
Задание №11 (26717) (Источник)
Итак, решим ещё один тип задач на точки экстремума функции. Вот так выглядит наше задание:
Здесь, нас просят найти наибольшее значение функции на отрезке [-6,5; 0]. Как же это сделать? Для начала мы найдём экстремумы функции, проанализируем производную функции и найдём наши точки максимума — это и будут наши наибольшие значения функции. Потом, мы выбираем ту точку максимума, которая находится на заданном отрезке, и всё. Находим нашу производную, используя формулы дифференцирования сложной функции:
Приравниваем нашу производную к нулю, находим точки экстремума:
Мы с вами получили единственную точку экстремума, абцисса которой равна -6. Как мы видим, она находится на отрезке [-6,5; 0], но ещё не доказано, что это — точка максимума. Проанализируем производную и выясним, действительно ли это так.
Теперь мы с Вами знаем, что это точка максимума. Но в задании требовалось найти наибольшее значение функции на отрезке, а не точку максимума. Чтобы найти наибольшее значение функции, нужно просто найти значение функции в точке -6, и тогда мы с Вами решим задачу до конца.
Всё, мы нашли с Вами наибольшее значение функции на отрезке [-6,5; 0]. Наш ответ — 51.
Задание №11 (71491) (Источник)
Следующее задание ничем не отличается от предыдущих двух. На очереди у нас вот такая, красивая функция:
Работаем по той же схеме: Находим производную, приравниваем её к нулю, находим точки экстремума, анализируем значения производной в точках. Дифференцируем функцию, используя формулы для дифференцирования сложной функции:
Приравниваем нашу производную к нулю, находим точки экстремума:
Мы с вами нашли две точки экстремума. Осталось проанализировать значения производной функции в точках, и определить, где находится точка минимума и максимума.
Вот мы и нашли с Вами нашу точку максимума — 13, это и будет нашим ответом на это задание. Переходим к следующему.
Задание №11 (245175) (Источник)
Последнее на сегодня задание будет на нахождение наименьшего значения функции. Выглядит оно вот так:
Действуем по тому же принципу, что и ранее. Находим производную функции, приравниваем её к нулю, находим точки экстремума, анализируем производную функции в выбранных нами точках, и находим наименьшее значение функции. Для начала, найдём производную:
Теперь, приравняем её к нулю и найдём точки экстремума:
Мы нашли с Вами единственную точку экстремума, и это 3. Докажем, что она является точкой минимума:
Теперь нам известно, что 3 — это точка минимума. Давайте же найдём значение функции в этой точке, которое и будет являться наименьшим значением.
Всё, мы решили с Вами эту нелёгкую задачу. Наименьшее значение нашей функции — 2.
Итог занятия
Сегодня мы с Вами решали задание №11 из сборника ЕГЭ-2022 по профильной математике, и научились находить точки минимума/максимума функции, а также наименьшее и наибольшее значение функции. Согласен, оформление заданий немного громосткое, но всё же, алгоритм решения таких задач довольно ясный и понятный, и если знать, как дифференцировать функции, а также в некоторых, сложных функциях понимать, больше или меньше нуля значение производной — то решение таких задач становится лёгким и простым, и ничего в них страшного нет. В следующей статье мы продолжим с Вами решать задачи из сборника ЕГЭ-2022, а на этом у меня всё. Всем пока!
