Совсем простой "парадокс", но поучительно и его рассмотреть. Итак, летят два фотона, и один не догонит другой, потому что скорости у них равны. Не значит ли это, что скорость фотона относительно другого фотона равна нулю?
Или есть релятивистская частица, со скоростью 0.99с, и за ней гонится фотон. Догонит, конечно, но через некоторое время, равное 100L/c, где L — изначальное расстояние, фора. Не значит ли это, что скорость фотона относительно частицы равна одной сотой с?
Не значит, конечно. Теория потому и "относительности", что там многое относительно, то есть по-разному в разных системах отсчета. Скорость и у Галилео относительна, а на самом деле и расстояние, и ход времени — тоже.
В лабораторной системе отсчета всё так, как описано выше: два фотона летят на одном расстоянии друг от друга и ни один не догонит другой. Фотон догонит релятивистскую частицу за указанное время по лабораторным часам.
Но переход в систему отсчета частицы осуществляется не простым сложением скоростей! Формулы строго выводятся из постулатов, и скорость фотона относительно частицы равна опять с.
Я могу предложить такую аналогию: вот есть oтравляющee вещество, настолько тoксичнoe, что смертельно в микродозах. И есть какао, в котором его на тысячу человек подсыпано. Можно считать в чашках, можно в микрограммах, можно в молях, можно граммах какао, можно на килограмм тела или в час — всё это связано, но различно, но суть одна. Концентрация смeртeльнa, как не считай.
(Роботы Дзена, это пример!)
Или вот концентрация в целом. Есть кислород и есть азот. Можно закачивать в баллон с кислородом азот. Концентрация азота, которая была нуль, будет расти. Поначалу практически линейно, так как концентрация азота равна N/(N+O), что при малых N примерно равно N/O. Но при этом 100% она не достигнет. Количество вещества играет роль энергии. Приблизить концентрацию к 100%, закачав очень много азота, можно, но N=O даст только 50%, а не 100, как по приближенной формуле.
Получается, что фотон догонит частицу довольно быстро в ее системе отсчета? Да. По ее часам пройдет немного времени, потому что ее часы идут замедленно относительно лабораторных.
За это малое время финиш, который движется навстречу частице, как раз успеет подъехать. Его скорость известна, время прошло небольшое, значит, и расстояние сократилось? Именно так, в системе отсчета частицы расстояние сократилось. Это лоренцево сокращение. Физически там ничего не сжимается. Просто метры в той системе отсчета более длинные, чем в лабораторной. Метр — это же просто расстояние, которой свет пролетит за некоторое заданное время. А раз часы идут замедленно с нашей точки зрения, то и метры получатся длиннее (с нашей точки зрения).
Перейти в систему отсчета самого фотона нельзя. Формула сложения скоростей (u+v)/(1+uv) не имеет смысла при u=1, v=-1 (скорость света принята за 1). Предел может быть любым вообще: если u=1, то получится 1 независимо от v, то есть скорость света; а если u=-v, то будет нуль, опять-таки независимо от v.
То есть "с точки зрения фотона" другой фотон находится на нулевом расстоянии, его часы стоят и вообще они оба уже прилетели.
Если математическая невозможность вас не убеждает, посмотрите на это иначе: у фотона стоят часы и расcтояние, которое он должен пролететь, для него равно нулю. Переход в его систему отсчета так же бессмыслен, как попытка нарисовать оси "север-восток" на полюсе. Нет там востока, во все стороны север (это я про южный полюс сейчас).
Или вот так: ремонтнику платят за простой: пока всё работает, ему идет денежка. С точки зрения идеального ремонтника, который вообще не работает (он в покое), все остальные получают меньше, чем он. Но всякий ремонтник может считать з/п другого относительно своей. А как быть тому, кто 24 часа работает? Относительно себя все зарплаты просто бесконечно велики, ведь он вообще ничего не получает. Аналогия, но поучительная.
Ну или вероятность выиграть всё у противника с неограниченным запасом ставок, располагая неограниченным запасоим ставок. Против любого противника с ограниченным запасом вероятность равна 1; а против такого же противника она просто не имеет смысла. Играть можно, а ни выиграть , ни проиграть — нельзя.
Самая важная вещь, которую часто забывают, это относительность одновременности. Если в лабораторной системе догоняющий фотон выпустили одновременно с пересечением частицей форовой линии, то с точки зрения частицы это не так: фотон выпустили позже.
Чтобы это легко считать, надо освоить гиперболические повороты. Переход к движущейся (относительно текущей) системе отсчета осуществляется таким преобразованием: вектор (t,x) переходит в
(tchs-xshs, -tshs+xchs),
где t и x — время и расстояние в текущей системе, ch и sh - гиперболические синус и косинус, а s - параметр, связанный со скоростью v системы соотношением v=ths (гиперболический тангенс).
Первая компонента вектора дает интервал времени в новой системе, вторая — расстояние. Формула ch²s(1-th²s)=1 позволяет избавляться от нефизичного параметра s, выражая всё через скорость. В частности, если система движется со скоростью v, то x=tv=tths и получаем
(tchs-xshs, -tshs+xchs) = (tchs - t ths shs, -tshs + tths chs).
По определению тангенса, ths=shs/chs и
(tchs - t sh²s/chs, -tshs + tshs) = tchs(1 - sh²s/ch²s, 0) = tchs(1-v², 0).
Мы видим, что система неподвижна, координата x не меняется. Просто потому, что ее скорость v и рассматривается она относительно системы, у которой скорость тоже v. А вот время замедлено, как раз на множитель Лоренца "корень из 1-v²".
Фора частицы была L, то есть вектор (0, L): разницы во времени нет, старт одновременный, но разница в расстоянии есть. Этот вектор перейдет в
(-Lshs, Lchs) = Lchs(-v, 1).
Мы видим, что разница во времени теперь есть, причем отрицательная: частица стартовала раньше фотона.
В итоге всё сходится.
Здесь надо уяснить вот что. Преобразования систем отсчета — повороты. Гиперболические, но это частность. Это повороты. При поворотах могут измениться проекции на оси, но совпадения п пространстве И времени останутся совпадениями.
Представьте себе прямоугольник. Вы можете смотреть на него так, что будет видна короткая сторона только; или длинная; или две сразу, так что вы увидите палку, длина которой равна диагонали. Можно увидеть прямоугольник с разными сторонами (но не больше исходных) можно увидеть ромб. Но нельзя увидеть прямоугольник больше, чем исходный, и нельзя "разорвать" стороны.
Как-то так.
