-А вы знали, что параллельные прямые пересекаются?
Эту фразу одни ученики произносят с гордостью, другие с робостью. Подобно делению на ноль, в какой-то момент это утверждение селится в их головах и не даёт покоя. Как будто они становятся носителем некоего сакрального знания и это делает их избранными.
Каждый раз приходится разрушать их иллюзии. Параллельные прямые не пересекаются. По определению. Если у прямых есть общая точка, они не могут называться параллельными.
Эта путаница возникает из-за пятой аксиомы Евклида и Лобачевского. Возможно эту тему разбирают неглубоко или проходят слишком быстро. У детей остаются пробелы и они заполняют их, чем могут.
Напомню, о чем речь.
Пятая аксиома. На плоскости через точку вне прямой проходит единственная прямая параллельная данной.
Лобачевский в своей геометрии заменил ее на отрицание. На плоскости через точку вне прямой проходит как минимум две прямые параллельные данной.
Обе они не пересекают исходную. Но сами по себе имеют общую точку и поэтому не могут быть параллельны. Допустив наличие еще одной параллельной прямой, Лобачевский открыл ящик Пандоры. И из него посыпалось бесконечно много таких прямых. В итоге в геометрии Лобачевского есть целый пучок прямых параллельных данной. Повторю еще раз, они не пересекаются с исходной прямой, но не параллельны между собой.
Но в этот раз, мой ученик произнёс эту фразу с неожиданным обоснованием. Он привел в пример меридианы Земли. Они перпендикулярны экватору и при этом пересекаются в двух точках.
Сказать, что я им очень горжусь, ничего не сказать. Он применил знание теоремы «Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны» в нестандартной ситуации. При этом расширил понятие прямой до окружности. Таким образом, сам того не заметив, перешел в сферическую геометрию. Где прямыми являются окружности, центр которых совпадает с центром сферы. Их еще называют большими кругами.
В сферической геометрии есть много интересных моментов, например можно построить треугольник с тремя прямыми углами. Но понятия «параллельности прямых» в этой геометрии не существует. Потому что любые два больших круга пересекаются в двух точкам. А параллельные прямые не пересекаются, по определению.
