Каждый год 14 марта мир отмечает одну из самых важных математических констант: число пи (π).
Это число появляется повсюду, и даже там, где вы его не ожидаете. Это число, известное цивилизациям на протяжении тысячелетий.
Узнайте больше о числе «пи» и о том, как наши знания о нем продвинулись с течением времени.
Мы могли бы начать обсуждение числа Пи с его определения. Пи есть не что иное, как отношение длины окружности к ее диаметру. Предельно просто, но в то же время очень сложно.
Проблема в том, что длина окружности не делится без остатка на ее диаметр. И выяснение того, каково именно это соотношение, было предметом исследования на протяжении веков.
Почти каждая ранняя цивилизация знала о важности этого соотношения. Чем знания отличались, так это тем, как они аппроксимировали число, и методами, которые они использовали для его вычисления.
На вавилонской табличке, датируемой примерно 1700 г. до н.э., число пи приблизительно равно 3,125. Более ранние вавилонские приближения использовали грубое приближение 3.
Египетский текст, известный как Папирус Райнда, указывал значение, равное 3,1605. Некоторые ученые, проанализировавшие параметры Великой пирамиды, определили, что египтяне использовали заложенное в нее соотношение 22/7 в качестве приблизительного значения числа Пи.
Древнеиндийские математики писали в «Шатапатха-брахмане», что число Пи равно 339/108, что соответствует 3,139.
Методы, используемые для нахождения этих приближений, были главным образом геометрическими и физическими. Они использовали либо циркуль и линейку, либо создавали круг и измеряли его.
Хотите верьте, хотите нет, но эти древние измерения были не так уж и плохи. Учитывая уровень техники, которую они использовали, и уровень точности, они смогли получить значение числа Пи с точностью до одного процента.
Однако то, что достаточно хорошо для ручной работы, не годится для математики.
Основная часть истории числа Пи с этого момента посвящена поиску лучших способов вычисления и еще большего количества цифр после запятой, которые можно вычислить.
Первый большой шаг в вычислении числа пи был сделан независимо друг от друга китайскими и греческими математиками.
Китайский математик Лю Хуэй (Лу Вэй) и греческий математик Архимед поняли, что можно аппроксимировать окружность круга, создавая внутри него многоугольники с большим числом сторон. Например, шестиугольник внутри круга явно грубое приближение, а восьмиугольник описывает его лучше. Десятиугольник еще ближе к кругу, и так далее, и тому подобное.
В 245 году Лю Хуэй измерил многоугольник с 3072 сторонами и получил значение 3.1416. Оба эти метода были ранними формами интегрального исчисления.
В 480 году другой китайский математик по имени Цзу Чунчжи использовал ту же технику, что и Лю Хуэй, и использовал многоугольник с 12 288 сторонами. Его значение числа пи было правильным до семи знаков после запятой. Это был огромный скачок в вычислении Пи, и этот результат продержался более 800 лет.
Алгоритм Лю Хуэя неплохо работал, но существовал практический предел числа сторон многоугольника, которые можно было измерить.
В 1424 году персидский астроном Джамшид аль-Куш рассчитал Пи до 16 цифр, рассчитав эквивалент многоугольника с 30 октиллионами (10 в степени 48) сторон.
Удивительно, что настолько большое число может дать вам только 16 цифр, но такова реальность числа Пи.
Здесь нужно объяснить, что значат 16 цифр. Главный инженер НАСА публично заявлял, что им нужно использовать только 15 десятичных знаков числа Пи при выполнении своих вычислений. С таким уровнем точности вы могли бы измерить окружность с длиной 78 миллиардов километров с погрешностью 5 см.
В 1596 году голландскому математику Людольфу ван Сеулену удалось вычислить число Пи до 20 цифр, а позже и до 35, используя технику многоугольника. Это был уже почти предел использования полигонального исчисления.
Следующим крупным нововведением в вычислении числа Пи стало использование бесконечных рядов. Бесконечные ряды, как следует из названия, складываются из бесконечного числа дробей. Чем больше вы добавляете, тем ближе оно сходится к числу, которое вы пытаетесь аппроксимировать. Этот метод гораздо эффективнее, чем пытаться определить площадь все более больших многоугольников. Например, один из изобретателей исчисления Готфрид Лейбниц придумал ряд, который сходится к числу Пи.
На самом деле, существует множество различных бесконечных рядов, сходящихся к некоторому кратному числу. Отличие их заключается в том, как быстро они к нему сходятся.
В 1699 году английский математик Абрахам Шарп вычислил число Пи, используя модификацию ряда Лейбница до 71 цифры. Здесь стоит отметить, что в этот момент никто не называл это число «пи». Впервые использование греческой буквы «пи» для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру было введено валлийским математиком Уильямом Джонсом в 1706 году.
71 цифра числа Пи — это гораздо больше, чем кто-либо когда-либо мог бы использовать. Чтобы представить это в перспективе: если вы используете 40 цифр числа пи, вы можете рассчитать круг размером с наблюдаемую Вселенную с погрешностью в атом водорода.
По мере того, как Пи вычислялось до все более точных значений, математики начали ставить вопросы о числе. Было доказано несколько атрибутов числа Пи. Одним из них является тот факт, что Пи является трансцендентным числом. Это означает, что это иррациональное число, которое не является алгебраическим. Не правда ли, все просто и доходчиво?
Трансцендентность числа Пи была доказана в 1882 году немецким математиком Фердинандом фон Линдеманном. И это решило, возможно, самую долгую проблему в истории математики: квадратуру круга. Самой ранней математикой была геометрия, выполненная с помощью линейки и циркуля.
Одна проблема, которая приводила в замешательство всех, от Архимеда до Леонардо да Винчи, заключалась в попытке создать круг с точно такой же площадью, как у квадрата, с помощью циркуля и линейки. Никто так и не нашел способ сделать это, и оказалось, что это невозможно, потому что число Пи трансцендентно.
Точность исчисления числа Пи продолжала возрастать. 100 цифр в 1706 году, 200 в 1844 году и более 400 к концу XIX века.
Великий индийский математик Шриниваса Рамануджан создал несколько быстро сходящихся бесконечных рядов, которые могли увеличивать число десятичных знаков на восемь за раз при каждом добавлении к ряду. Это радикально изменило возможность вычисления числа Пи. В 1946 году число Пи было рассчитано до 460 цифр вручную, и это стало пределом ручных вычислениях.
После этого для вычислений стали использовать компьютеры. И вычисление числа «пи» было способом проверки производительности новых компьютеров.
В 1949 году Леви Смит и Джон Ренч рассчитали число Пи до 1100 цифр с помощью настольного вычислительного устройства. Всего несколько месяцев спустя один из первых электрических компьютеров ENIAC вычислил Пи до 2037 знаков за 70 часов. В 1961 году IBM 7090 вычислил число Пи до 100 000 цифр менее чем за 9 часов.
С появлением еще более мощных компьютеров и улучшенных алгоритмов, возможности вычисления «пи» напоминали цепную реакцию. Порог в 1 миллион цифр был преодолен в 1973 году, 10 миллионов в 1983 году, 100 миллионов в 1987 году и 1 миллиард в 1989 году. На данный момент рекорд по вычислению числа Пи установлен командой Университета прикладных наук Восточной Швейцарии (2021). Они рассчитали число Пи до 66,8 трлн цифр.
Запоминание числа «пи» превратилось в соревнование. Большинство людей могут легко запомнить до 10 или 20 цифр, так как это не сложнее, чем запомнить номер телефона или кредитной карты. Текущий мировой рекорд Гиннесса по запоминанию Пи составляет 70 000 знаков. Этот подвиг совершил индиец Раджвир Мина в 2015 году. На перечисление цифр у него ушло 9 часов 27 минут.
Пи — универсальная константа. Если мы когда-нибудь столкнемся с инопланетным разумом, они должны знать это число так же, как и мы. Однако вполне возможно, что если бы они связались с нами, то мы бы не поняли друг друга.
Некоторые математики утверждают, что это произойдет потому, что Пи — не то число, которое нам следует использовать. Причина в том, что диаметр круга в математике почти никогда не используется. Что определяет круг, так это его радиус. Если радиус является важнейшим измерением, почему мы используем диаметр?
Поэтому они предполагают, что реальным числом, которое мы должны использовать, является отношение длины окружности к радиусу, которое равно удвоенному числу Пи. Это число 6,28318… было названо Тау. Если инопланетяне пришлют нам число, которое показывает некую универсальную математическую константу, это может быть как раз Тау. Даже если поклонники Тау правы, число «пи» по-прежнему будет использоваться как одна из важных математических констант.
