Решаю задачу из учебника по геометрии за 10 класс

Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 10см,10см и 12см. Каждая боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Как показать на чертеже,что каждая боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 45°?

Доброго времени суток, уважаемые читатели!

Даю онлайн консультации по математике при подготовке к ЕГЭ, ОГЭ, ВПР и домашних работ из учебников. Самые интересные задания и их решения выкладываю на своём канале.

Проведём высоту DО пирамиды и через точку О опустим перпендикуляры ОМ, ОК, ОN  к сторонам ∆ АВС.

Соединим точки D и M, D и K, D и N.

Тогда DMO, DKO, DNO - линейные углы двугранных углов между боковыми гранями и плоскостью основания. Они и показывают нужные нам углы в 45°.

И это действительно так. Высота пирамиды DO перпендикулярна к плоскости основания.

По теореме о трёх перпендикулярах, если высота DО перпендикулярна к отрезкам ОМ, ОК и ОN, а ОМ, ОК и ОN по построению перпендикулярны к сторонам треугольника АВС, то АВ, ВС и АС перпендикулярны к отрезкам DМ, DК и DN соответственно.

Теорема о трёх перпендикулярах: прямая, проведенная к плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к этой наклонной.

Значит, DМ, DК и DN - высоты в треугольниках АDB, ВDC, ADC.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей её боковых граней.

А площадь каждой боковой грани равна половине произведения основания на высоту.

В связи с этим имеем:

S бок.пир.= S∆ADB+S∆BDC+S∆ADC=½АВ•DM+½BC•DK+½AC•DN

 Основания АВ, ВС, АС известны по условию. Осталось найти высоты DМ, DК, DN.

Рассмотрим треугольники МОD, KOD, NOD. Они равны по катету и острому углу. DO - общий катет. Углы DMO, DKO, DNO равны 45° по условию. Из равенства треугольников следует равенство сторон. Значит, MO=KO=NO и DM=DK=DN. К тому же треугольники MOD, КOD, NOD-равнобедренные. Докажем это.

На конструкции хорошо видны равнобедренные треугольники. Пирамида низенькая в отличии от чертежа.

Так как DO - высота, то углы при вершине О во всех треугольниках равны 90°. Углы DMO, DKO, DNO равны 45° по условию. Значит, углы при вершине D тоже все по 45°. Если два угла в треугольнике равны, то он равнобедренный. Из равенства углов следует равенство сторон. Значит, МО= OD, OD = OK и OD = ON.

Теперь достаточно найти МО и весь ход задачи будет открыт для решения.

Соединим точку О с вершинами треугольника АВС.

Найдем площадь треугольника АВС. По свойству площадей площадь фигуры равна сумме площадей фигур, ее составляющих. S∆ABC=S∆AOB+S∆BOC+S∆АOC=½AB•OM+½BC•OK+½AC•ON=½OM•(AB+BC+AC)=½OM•32=16 OM. Вывод: S∆ABC=16ОМ (1)

Найдем площадь этого же треугольника по-другому.

Вывод: S∆ABC=48 см²(2)



Из 1) и 2) следует

48=16•ОМ.

Отсюда ОМ=3см. Так как ОМ=ОD по выше доказанному, то по теореме Пифагора

DM²= ОМ²+ОD²

DM²= 3²+3²=18

DM=3√2 см

Так как DM=DК= DN, то

S бок.пир.= S∆ADB+S∆BDC+S∆ADC=½АВ•DM+½BC•DK+½AC•DN==½DM•(АВ+ВС+АС)= ½• 3√2•32 = 48√2см²

Ответ: 48√2см²

Задача решена.

С вами автор канала Любовь.

Подписывайтесь на мой канал, где найдете решения других интересных задач по математике.