Рискуя потерять аудиторию на заголовке, я назвал статью созвучно книге Р. Фейнмана, которая называется "Характер физических законов". Её я рекомендую каждому хотя бы пролистать по диагонали.
Началось всё с холивара "как правильно 2*6 или 6*2 в начальной школе": учителя началки в задачах часто один из вариантов зачёркивают, как неправильный.
Вот такую недокоммутативность (переставлять местами множители можно, но не всегда) объясняют тем, что величины, входящие в умножение, разные: одна обозначает количество кустов, другая количество рядов, и с точки зрения смысла задачи 6 кустов в два ряда это совсем не то же самое, что 2 куста в 6 рядов.
Это во многом на самом деле так. Величины на самом деле различаются. И вот как.
Действия над однородными и неоднородными величины.
Математики и физики давно знают, что величины бывают разных сортов. Есть длина, и это совсем не то же самое, что масса. Мы, взрослые, говорим, что длина и масса - неоднородные. Когда в математике определяют сложение, дети ещё слишком маленькие (1 класс), чтобы понять такие особенности, поэтому никто над такими вещами не задумывается. Однако вне зависимости от того, какой подход к величинам используется (Колмогорова, Виленкина или вообще другой), все сходятся во мнении, что складывать можно только однородные величины. Наверное, каждый вспомнит, как учитель говорил что-то типа "ну, конечно, сложил килограммы с метрами". Да ещё с возмущением. В примере с кустами мы можем выполнить сложение чисел 6 и 2, получится, что характерно, 8. Но в ситуации кустов и рядов нет величины, значение которой 8. Есть число 12 - всего кустов. Но 8 - нет. То есть, результат сложения не имеет смысла, а результат умножения смысл имеет. Будет смысл складывать 6+6 - это мы сложили количество кустов в первом ряду и во втором. Это величины однородные.
Смысл величин и коммутативность
Теперь вернемся к тому, можно ли менять местами слагаемые и множители. Скажем, вы идете на работу. Проходите двадцать метров по дорожке вдоль дома, потом поворачиваете направо, проходите еще 30 метров, там дорога, её переходите (еще 10 метров), и доходите от перехода до остановки 15 метров. Сколько метров вы прошли? 20+30+10+15=75 метров. Верно? А почему не 10+20+15+30? Можете вы сначала перейти дорогу, потом пройти по дорожке вдоль дома, потом от перехода до остановки и только в конце дойти от дома до дороги? Нет, конечно же. Телепортацию ещё не изобрели.
Когда мы начинаем задумываться о смысле величин, коммутативность даже у сложения теряется. Сложение длин двух непоследовательных участков пути возможно, но оно не будет отражать реальной ситуации. Почему же мы пользуемся переместительным законом? Потому что не важно, в каком порядке мы проходим эти отрезки пути - мы все равно их пойдём. И с этой точки зрения числа складывать мы можем в любом порядке.
Физические и математические смыслы величин
Когда мы смотрим на физический закон, скажем, s=vt, мы не задумываемся о том, какой смысл вкладывается в порядок записи величин, а просто умножаем числа. Но задумывались ли вы, почему именно vt, а не tv? Второй вариант вы не найдёте ни в одном справочнике, ни в одном уважающем себя учебнике.
В каких-то случаях, объяснение легко найти в математике высших порядков. Скажем, в формуле для силы Лоренца перестановка множителей в произведении qvB приведёт к ошибке, а в более сложных формулах - и к невозможности вычислений. Задумаемся: ведь скорость (v) и напряжённость поля (B) - это векторные величины, а в ответе получается вектор (F), Значит, произведение vB - векторное, и писать надо бы иначе: F=q[v,B] (а векторное произведение, как известно, антикоммутативно, т.е. [v,B]=-[B,v]).
Но в произведении vt вектор только один, значит, мы имеем умножение вектора на число. А таковое в математике записывается всегда иначе - число впереди, потом вектор (5a, а не a5). Почему же в физическом законе иначе?
Продолжение следует...
