Приветствую Вас, уважаемые Читатели! В цикле материалов про замкнутые и открытые множества мы уже рассмотрели основные определения, разобрались, что получается при объединении и пересечении интервалов и отрезков, в т.ч. бесконечных.
Сегодня предлагаю Вам порассуждать, а что же из себя представляют полуинтервалы ?
Внимание!
Материал очень простой, но для лучшего понимания происходящего на экране настоятельно рекомендую прочитать материалы, начиная с самого первого:
Давайте начнем с полуинтервалов - (a,b], в который входят все вещественные числа большие а и меньшие или равные b.
Напомню, что характеристику полусегменту (синоним) мы будем давать с позиции внутренних и предельных точек. Рассмотрим три особенные точки:
- С1,C2 - являются внутренними точками, т.к. для них найдется окрестность, которая содержит точки, принадлежащие только полусегменту (a,b], при чем это верно, как бы мы не приближали точку С2 к началу полуинтервала.
- С3 - внутренней не является, т.к у неё не существует ни одной такой окрестности.
Значит, полуинтервал - не открытое множество, ведь по определению ВСЕ его точки должны быть внутренними. С другой стороны:
- С1,C3 - предельные точки, т.к. в их окрестности найдется хотя бы одна точка, отличная от них самих и принадлежащая полуинтервалу.
- Начало полуинтервала а - так же предельная точка - в любой её окрестности справа содержится точка полуинтервала.
Но, по определению множество является замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки, но у нас точка а "вне юрисдикции"!
Таким образом, полуинтервал не является ни открытым, ни замкнутым множеством, что целом было интуитивно понятно, а теперь и формально определено. До того, как переходит к понятию топологического пространства хотелось бы еще рассмотреть важнейшие понятия внутренности и замыкания. Спасибо за внимание!
- Ставьте "Нравится" и подписывайтесь на канал прямой сейчас, даже если считаете мои рассуждения "игрой в бисер". На канале есть статьи на любой вкус!