Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Парадоксальным утверждениям из теории множеств посвящено много материалов на моём канале. Сегодня пришло время обратиться к одному из наиболее очевидных и простых - теореме Кантора-Бернштейна.
Один из ключевых вопросов теории множеств - в определении соотношения размеров множеств. Чего больше: натуральных чисел или иррациональных? Где больше точек: на плоскости или на единичном отрезке? Или, может быть, их одинаковое количество?
Разбираясь формальным образом в этих понятиях, мы и придём к желанной теореме. Поехали!
Равные множества
Интуитивное понятие "множеств одинакового размера" в математической терминологии заменяется на "равномощность".
Доказать равномощность множества А множеству B - значит построить между их элементами т.н. биективное отображение, сопоставляющее каждому элементу из множества А элемент из множества В.
- А в известной песне было: "Потому что на десять девчонок по статистике девять ребят". Здесь у нас как раз не биективное отображение, а уже сюръективное в сторону ребят и иньективное в обратную сторону. Ну это так, к слову. Продолжаем!
С равномощностью более-менее понятно, но как формализовать понятие "одно множество больше другого"?
Неравные множества
Оставим в стороне мысли, что неравные множества - это множества состоящие из разных элементов. Математику в этом случае абсолютно фиолетово, что из себя представляют элементы множеств сами по себе, но важно их количество.
Упрощая с одной стороны, математик формулирует понятие неравного множества вроде бы через использование усложненной конструкции "множество А по мощности не больше множества B".
Как обычно, если в некие формулировки добавляется частица "не", их восприятие становится более сложным. Но не всё так однозначно в теории множеств...
По определению множество А по мощности не больше множества В, если оно равномощно некоторому подмножеству множества B. Из рисунка интуитивно понятно, что множество А можно "вложить" в множество B, в предельном случае даже заполнив его полностью.
Тут обычная игра слов: если множество А равномощно множеству B, то А имеет не большую мощность, чем B. Теперь понятно, как на самом деле упростила жизнь частица "не" ?
Но что, если одновременно с описанным выше случаем, и множество B равномощно некоторому подмножеству А?
А вот здесь уже интуиция подсказывает, что в таком случае множества могут быть только равными.
Теорема Кантора-Бернштейна
Формулировка теоремы до боли проста:
Если множество А равномощно некоторому подмножеству множества В, а множество В равномощно некоторому подмножеству множества А, то множества А и В равномощны.
Запутано? Ну что же, а так:
А говорят еще, что формулы сложнее слов!
Интересно, что первым эту теорему опубликовал немецкий математик Эрнст Шредер, но привёл неправильное доказательство. Независимо от него теорему сформулировал и отец теории множеств Георг Кантор, однако не приведя вообще никакого обоснования.
Окончательный итог подвёл его ученик - Феликс Бернштейн, расписавший всё строго в своей диссертации. Именно поэтому иногда в советских книгах можно было встретить название "теорема Шрёдера-Бернштейна".
Поразительный пример
Статья была бы не законченной, если бы я не показал Вам классический пример применения теоремы, а именно установление равенства между отрезком и квадратом!
При этом нам абсолютно не важно соотношение длины отрезка к длине стороны квадрата! Давайте действовать по теореме Кантора-Бернштейна: докажем, что отрезок равномощен некоторому подмножеству квадрата. Как это сделать, придумали еще в древней Греции:
Каждой точке отрезка EF соответствует точка отрезка BC: мы построили биекцию! Шаг пройден.
Теперь мы должны проделать то же самое со всем квадратом и подмножеством отрезка. Без потери общности предположим, что квадрат и отрезок единичной длины.
Более того, мы можем рассматривать не весь квадрат, а например, его четвертинку, т.к. она допускает биекцию со всем квадратом (просто растяните его!).
Каждой точке этой четвертинки соответствует точка с координатами (Xa, Ya), которую можно записать как бесконечную десятичную дробь.
Если теперь составить координаты точки B, "перемешав" упомянутые выше координаты, мы получим взаимно однозначное соответствие каждой точки исходного квадрата с подмножеством отрезка от 0 до 0.5! Таким образом, мы и второй этап завершили, а, значит, по теореме Кантора-Бернштейна отрезок равномощен квадрату! Более того, все геометрические фигуры, содержащие хотя бы кусочек отрезка, равномощны!
- Ставьте "Нравится" и подписывайтесь на канал прямой сейчас. На канале есть статьи на любой вкус!