Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу поговорить с Вами о "святая святых" математики - построении циркулем и линейкой. Однако речь будем вести о построении конкретного рода - изображении на плоскости правильных многоугольников.
3 - угольник
Первым из правильных многоугольников, очевидно, является равносторонний треугольник, алгоритм построения которого до боли прост:
Проводим произвольный отрезок, затем фиксируем раствор циркуля по его длине и проводим две дуги. Точка их пересечения и будет третьей вершиной равностороннего треугольника.
Строго говоря, любые построения, осуществимые циркулем и линейкой могут проводиться только циркулем. Эту идею доказал итальянский математик Лоренцо Маскерони еще в конце 18 века. Естественно, речь идет о том, чтобы считать прямую построенной, если на плоскости отмечены две её точки.
4-угольник
Квадрат, так же как и треугольник строится элементарно. Посмотрите на эту чудесную анимацию:
В целом для построения квадрата здесь проводится 5 дуг окружностей, а сам алгоритм опирается на построенный ранее треугольник.
5-угольник
Построение становится всё сложнее и сложнее, так что пришлось даже замедлить анимацию:
Впервые правильный пятиугольник был построен еще Евклидом. Кстати, по формулам получается, что один его угол равен 108 градусам. В то же время, если провести из любой вершины две диагонали к вершинам противоположным, эти линии будут трисектриссами, т.е. будут делить угол на три равных.
Получим частный случай решения задачи о трисекции угла. В общем виде, и я об этом уже писал, задача не имеет решения.
6 - угольник
Опять-таки, первым, кто описал алгоритм построения шестиугольника, был Евклид. Его метод показан на следующей анимации:
Замечу, что все приведенные выше построения еще древние греки умели "модернизировать", т.е. строить многоугольники с кратным числом сторон, например, из пяти- делать десяти-, а затем и двадцатиугольник.
Например выше я говорил о трисектриссе угла 108 градусов / 3 = 36 градусов, что соответствует правильному 10-угольнику.
Кроме того еще Евклид показал алгоритм построения многоугольников со сторонами 2^m *3, 2^m*5, 2^m*3*5, где m - любое натуральное число.
Но это слишком конкретный набор цифр, в котором бесконечно много пропусков! Что, если нужно построить n-угольник, у которого число n - простое (понятно, что не равное 3 и 5) ? Например, число 7 для количества углов не кажется такой уж "могилой".
Правильный n-угольник
Математика со времен Евклида с конструктивной точки зрения никак не продвигалась по этому вопросу до конца 18 века. Именно тогда Карл Фридрих Гаусс доказал, что построение n-угольника с простым числом сторон осуществимо, но сильно ограничено. Сам Гаусс первым в истории построил правильный 17-угольник:
Но чем же так примечательно простое число 17 ? Оказалось, что оно относится к т.н. простым числам Ферма, которые вычисляются по следующей формуле:
Гаусс предположил, а Пьер Лоран Ванцель строго доказал, что многоугольник может быть построен циркулем и линейкой тогда, когда число его сторон равняется:
, где m - любое натуральное число, а p - простые числа Ферма во всевозможных комбинациях.
Например, возьмем число m = 2, а также два простых числа Ферма - 3 и 17. Тогда по теореме Гаусса-Ванцеля можно построить 2^2*3*17 = 204-угольник.
Загадка, которая остается нерешенной до сих пор, состоит в том, если ли еще среди чисел Ферма простые, а значит, можно ли построить многоугольник с нечетным количеством сторон, большим чем с
3*5*17*257*65537 = 4294967295.
На данный момент в поисках очередного простого числа Ферма математики остановились на 31 ходу. Найдено, что число Ферма 2^2^31 и все меньшие его - составные. Кто знает, может быть, это открытие выпадет на наш век? Спасибо за внимание!
- Ставьте "Нравится" и подписывайтесь на канал прямой сейчас, чтобы не пропустить следующие публикации.
