Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Продолжаем беседовать о фундаментальных математических понятиях, известных Вам еще со школы, но в большинстве своём непознанным, оставшимся на интуитивном уровне ине оформленным строго.
Напомню, что в трех предыдущих статьях я рассказывал о понятии интервала и следующего из него понятия "открытое множество", а также особенностях, которые возникают, если эти множества пересекать или объединять. Первая статья по ссылке ниже:
Сегодня речь пойдет о во многом дуальном понятии - отрезке. Поехали!
Что мы знаем об отрезке?
По школьному определению отрезок - это часть прямой, ограниченная точками вместе с этими точками.
Вспоминая, что такое интервал, можно прийти к выводы, что отрезок получается с помощью добавления к интервалу его конца и начала. Т.е.:
На этом можно было бы остановиться, ведь в прошлых материалах мы дали строгое определение интервала, а сейчас известными методами расширили это понятие до отрезка. Однако я предлагаю рассмотреть понятие отрезка немного подробнее, но для начала со старых позиций.
Изучаем отрезок под микроскопом
Отличие, конечно, налицо - оно в его концах, но как это формализовать математически? Для этого вспомним понятие внутренней точки, через которую определялся интервал.
Напомню, что интервал - это множество, каждая точка которого внутренняя, т.е. содержащаяся в интервале вместе со своей окрестностью (хотя бы одной)
Есть ли у отрезка внутренние точки? Конечно, есть! Но не каждая его точка является внутренней!
Например, в начале отрезка любая окрестность "выпирает" за его границы, а значит окрестность не принадлежит отрезку целиком. А что же общего у всех точек отрезка? А то, что для каждой его точки существует окрестность, которая включает хотя бы одну соседнюю "родную" точку.
Таким образом, точка множества Х называется предельной, если в её окрестности есть хотя бы одна точка, отличная от Х, и принадлежащая отрезку. Тогда:
Отрезок - это множество на вещественной оси, которое содержит в себе все свои предельные точки. По аналогии с открытыми, отрезок является замкнутым множеством.
Главное отличие отрезка от интервала
И вот здесь необходимо почувствовать фундаментальное отличие отрезка от интервала. На вопрос "А есть ли у интервала предельные точки?", мы без сомнения ответим: "Да":
Но на вопрос "А все ли эти точки принадлежат интервалу?" мы ответим "Нет", потому что легко укажем два контрпримера:
На самом деле, у нас нет оснований не считать концы интервала предельными точками, ведь вокруг каждого из них содержится точка, принадлежащая интервалу.
Краткий итог
- В замкнутом множестве есть внутренние точки, но не каждая его точка является внутренней.
- В замкнутом множестве все точки - предельные.
- В открытом множестве есть предельные точки, но не все они ему принадлежат.
- В открытом множестве все точки - внутренние.
Хорошая математическая скрижаль, не правда ли? В следующей статье будем замкнутые множества пересекать, потихоньку двигаясь в сторону одного из основных понятий современной математики - топологического пространства.
- Ставьте "Нравится" и подписывайтесь на канал прямой сейчас, даже если считаете мои рассуждения "игрой в бисер". На канале есть статьи на любой вкус!