Вернемся опять к основам релятивистики. Вот есть у нас пространство-время, у каждого точечного события есть четыре координаты: время (когда произошло) и три пространственные координаты (где произошло). В классике тоже так, в общем-то.
Но, в отличие от классики, у нас между двумя событиями определен интервал. Не отдельно "расстояние в пространстве" и "сколько времени прошло", а комбинация этих величин. И этот интервал во всех системах отсчета (или, как говорят, у любых наблюдателей) один и тот же.
То есть, неправильно говорить, что между началом нашей эры на Земле и концом последней войны на Бетельгейзе прошло 500 лет и между этими событиями примерно 500 световых лет. Это так только в одной системе отсчета, в которой две планеты неподвижны. А можно говорить только про интервал, который в данном случае близок к нулю.
Формула для интервала в плоском пространстве такая:
c²τ² = c²t² - r²
Здесь c — скорость света, τ — интервал, t — время, r — расстояние в пространстве.
Ясно, что квадрат интервала может оказаться положительным, отрицательным и равным нулю. В итоге пары событий разделены времени-подобным интервалом, пространственно-подобным или светоподобным (null). Таковы же отрезки и кривые линии. Могут быть еще смешанные, но их мы рассматривать не будем.
Причинность в смысле "событие А идет раньше события В и может влиять на него" имеет смысл для времени-подобной кривой, к которым отнесем и светоподобные. Для пространственно-подобных нельзя сказать абсолютно, какое идет раньше: зависит от системы отсчета. В специальной теории относительности и в некоторых решениях Общей события, разделенные времени-подобным интервалом, находятся в причинно-следственной связи: конкретную кривую, их соединяющую, можно не указывать. В общем случае искривленных пространств это не так: пример Гёделя показывает, что причинная связь есть, но для точек на данной времени-подобной кривой! Эти же точки на другой кривой могут идти в обратном порядке.
Давайте определим одновременность, чтобы стало всё ясно. Вот есть у нас времени-подобная кривая; или прямая, для простоты. Это история некоторой точки. Если она прямая, точки движется в какой-то системе отсчета равномерно прямолинейно. Если кривая, то испытывает ускорения.
Кстати, можно кривую линию принять за координатную ось, чтобы точка в этой системе двигалась равномерно прямолинейно? Можно, но это будут криволинейные координаты, у них будет кривизна, и эта кривизна породит гравитационное поле, которое и объяснит ускорения.
Как определить события, одновременные данной точке на данной кривой (прямой)?
Надо построить перпендикуляр! Точнее, ортогональную кривой (или прямой) трехмерную плоскость. Но пусть у нас будет одно пространственное измерение, для простоты: тогда прямую.
Перпендикулярность, она же ортогональность, мы определяем через скалярное произведение векторов, которое в данном случае вычисляется так:
(t, x)(T, X) = tT - xX.
Для ортогональных векторов оно равно нулю. Сразу видно, что ортогональные к времени-подобному вектору пространственно-подобны, а светоподобный вектор ортогонален сам к себе.
Теперь вспомним, что скалярное произведение имеет смысл проекции одного вектора на другой. То есть, если мы сместимся от прямой в направлении неортогонального вектора, то проекция этого смещения будет ненулевая: мы сместимся вдоль прямой тоже. Прямая времени-подобна, то есть смещение будет и во времени. А если ортогонально смещаться, то смещения во времени нет: это и есть одновременность.
Светоподобная линия соответствует траектории световых лучей или фотонов. У нее все точки одновременны. Фотону все равно, он никуда не летит: событие излучения, событие поглощения, событие "пролетел мимо пивного ларька" для фотона одновременны.
А вот две времени-подобные линии... Выберем точку А на одной, построим в ней перпендикуляр (ортогональный вектор) и продлим его до пересечения с другой линией. Получим точку В, одновременную точке А.
Но это не взаимно! Перпендикуляр в точке В пересечет первую линию в другой точке, А', одновременной В. Вот вам и относительность одновременности.
Для кривой мы строим ортогональный вектор к касательному, и в каждой точке он свой. Можно приблизить кривую ломаной, и тогда в вершинах ломаной наш перпендикуляр будет скачком меняться. Соответственно, скачком будет меняться и точка одновременности на другой времени-подобной линии, то есть "часы другого наблюдателя". Именно так действуют ускорения, ведь изменение касательного вектора и есть ускорение, а в геометрии это называется кривизной линии.
В ОТО, в искривленных пространствах, всё в принципе так же. Только прямых линий нет вообще. На касательные векторы к линиям есть; для прямых их называют направляющими. Формула для интервала теперь в бесконечно-малых. Ну, и могут появляться (и появляются) коэффициенты, зависящие от координат. И перекрестные члены (dtdx и т.п.) могут появиться. Эти коэффициенты и называются метрическим тензором.
Может оказаться, что одновременных точек просто нет. Так, падающий в черную дыру по своим часам долетает до горизонта событий за конечное время, но этот миг не одновременен никакому отдаленному неподвижному (относительно горизонта) наблюдателю.
Может оказаться, что одна и та же пространственная точка одновременна сама себе в разные моменты времени. Так на вращающемся кольце. Линия одновременности получается спиралью, и она неизбежно возвращается в ту же пространственную точку кольца. Но позже.
Может даже такое быть, что точка одновременна сама себе. Но это экзотика (решение Гёделя). Там вообще нет абсолютной причинности: только вдоль некоторой линии.
Вот и всё; довольно просто, на самом деле.
