Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Продолжаем наше путешествие в удивительный мир кривых линий. Сегодня на очереди у нас брахистохрона или кривая наискорейшего спуска - удивительный плод математики конца 17 века. Поехали!
Идёт 1696 год. Швейцарский математик Иоганн Бернулли (это семейство, кстати, одно из самых плодовитых на знаменитых ученых) размещает в журнале Acta Eruditorum (первом научном журнале на немецком языке, издававшемся более 100 лет) задачу, которая заставит забыть про сон многих известных математиков:
Я, Иоганн Бернулли, обращаюсь к самым блестящим математикам в мире. Нет ничего более привлекательного для ученого, чем задача, возможное решение которой принесет ему славу и останется вечным памятником. Следуя примеру Паскаля, Ферма и т.д., я надеюсь заслужить благодарность всего научного сообщества, поставив перед лучшими математиками нашего времени задачу, которая проверит их методы и силу их интеллекта.
Суть задачи заключалась в следующем:
Среди плоских кривых, соединяющих две данные точки A и B, лежащих в одной вертикальной плоскости (B ниже A), найти ту, двигаясь по которой под действием только силы тяжести, сонаправленной отрицательной полуоси OY, материальная точка из A достигнет B за кратчайшее время.
Точка А расположена в начале координат, а B - на пересечении трех линий. Здесь результаты получены с помощью компьютерного моделирования: по кривой синего цвета точка скатывается быстрее всех (забегая вперед - это и есть брахистохрона). И да - это не дуга окружности, как думал ранее пытавшийся решить похожую задачу Галилео Галилей.
Но что же могли сделать математики 17 века?
Им было трудно. Изначально Бернулли предполагал, что решение найдется за полгода, однако затем был вынужден продлить соревнование еще на полтора.
Первым на сцену вышел Исаак Ньютон, решивший задачу за одну ночь (он просто узнал про неё больше, чем через полгода). Посмотрев на анонимное решение Иоганн Бернулли воскликнул: "Узнаю льва по следу его когтя".
Однако, если знать некоторые подробности, вывод Бернулли не кажется чем-то из ряда вон. Дело в том, что Ньютон "скрытно" опубликовался в фактически собственном журнале "Философские труды".
В методе Ньютона используются чисто геометрические выводы, которые, кстати, окончательно не были строго обоснованы. Но в одном Великий был прав: кривая наискорейшего спуска является перевернутой циклоидой.
Циклоида задается двумя параметрическими уравнениями для координат, однако проще понять её природу на простой анимации:
Интересно, что форма брахистохроны не зависит ни от массы скатывающегося тела, ни от конкретной величины силы тяжести! Просто найдите две такие точки А и B (одна выше другой), через которые проходит циклоида (единственным образом задаваемая для произвольных двух точек) и получите брахистохрону:
В общей сложности решение задачи опубликовали пять математиков: Ньютон, Якоб Бернулли, Готфрид Лейбниц (он, кстати, достиг успеха сразу же после публикации Бернулли, но договорился с ним не раскрывать результатов, а дать другим математикам порезвиться), Эренфрид Вальтер фон Чирнхаус и Гийом де л'Опиталь.
Значение брахистохроны недооценить просто невозможно: методы, призванные решить эту, казалось бы, местечковую задачу привели к создания вариационного исчисления - одного из важнейших методов физики движения и экстремальной математики.
А еще Вы теперь точно знаете, какой должна быть форма идеальной "американской горки" !
