Не умеете решать задачи, включающие параметр? Это сложные номера высокого уровня сложности, требующие поиска неизвестного корня уравнения. В статье рассмотрены принципы решения.
Теория номера
Решение задач включает следующий тип примера: выражения вида f(x;a) = 0, требующие отыскать варианты пары (x;a), вызывающие образование верного равенства. Выражение содержит две равнозначные переменные. Начинать выполнение разрешено с любой из них. Встречаются задачи, содержащие фиксированный параметр. «Х» в данном случае обращает выражение в уравнение, включающее одну неизвестную. Показатель «a», принимающийся за действительное число, меняет ответ примера. В ЕГЭ по математике данные выражения называются уравнениями, содержащими параметр.
Результат выражения зависит от показателя параметра. Возможны различные ситуации, например, определенное число приводит к отсутствию корней, другое образует бесконечное множество ответов. Иногда параметр влияет на формулы, являющиеся условием решения. Пример задачи, содержащей параметр:
ах2 - 3ах - 4 = 0
- параметр равен 0, корни отсутствуют;
- равен “1”, выражение содержит 2 корня: “-1”; “4”;
- равен “-1”, получаем 2 корня: “-4”; “1”;
- равен “-16/9”, корень равен “1,5”.
Подобные выражения представляют семейство уравнений. Уравнение, содержащее параметр, является краткой записью семейства. Однако условия задач требует нахождения отдельных значений. Необходимо заменить «a» конкретными числами, решить пример. Задачи формулируются следующим образом: решите семейства, образующиеся из f(x;a) = 0. Условие: действительные «a». Обычно данное задание требует выделения отдельных подмножеств из множества с использованием определенных признаков. Выбираются множества действительных чисел, множества конкретных значений (больше нуля, меньше нуля). Решение происходит с использованием подмножеств. Другой вариант — выбирать подмножества, включающие числа, переход через которые вызывает качественное изменение признаков. Данные числа называются контрольными, именно их требуется найти. Рассмотрим типы задач:
- базовый тип, представляющий нахождение корня на любом (иногда заданном) значении параметра. Условие — принадлежность числа определенному множеству;
- определение количества решений, указанных данным параметром. Особенность номеров: выполнение не требует полного решения, нахождения ответа — это лишняя трата сил. Прорешивание до конца необходимо редко;
- обратная задача, представляющая нахождение чисел, приводящих к определенному числу решений;
- поиск ответа с использованием заданных условий. Условия зависят от конкретной задачи, выражаются, например, возможностью подставить любое число из данного промежутка с выполнением равенства.
Существуют следующие способы решения задач:
- аналитический. Прямой, классический способ выполнения заданий. Решение аналогично выполнению простых примеров, включающих единственную переменную. Сложный метод, требующий глубокого осознания действий, понимания темы;
- графический. Результат определяется графиком. График строят, используя оси Оху, Оха, зависит от конкретного условия. Вариант более простой, часто используется в качестве проверки;
- решение относительно параметра. Требуется принять переменные за равноправные, решить выражение относительно одного значения. Ограничений нет, выбирайте вариант, удобный для решения. Решив задание, возвращайте изначальный показатель переменных, найдите ответ.
Графический метод
Начнем с решения задачи графическим методом.
Условие 1. Найдите значения неизвестного параметра, вызывающие появление двух действительных «x».
|3x|-2x-2-ax2-2x-a=0
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, знаменатель отличен от нуля. Раскрываем модуль числителя, решаем:
Ответы выражения — координаты системы Оха. Найденные числа представляют лучи, начинающиеся точкой (0;-2). Результат следующий:
- параметр больше «-2» — присутствуют 2 корня;
- равен «-2» — корень один;
- меньше «-2» — корни отсутствуют.
Уравнение знаменателя задает параболу. Необходимо вычислить значения, нарисовать график, изобразив параболу, лучи.
Находим: числитель становится нулем при значениях, равных: -1, 0, 3, 8.
Получаем: a∊(2;1); (1;0); (0;3); (3;8); (8;+∞).
Аналитический метод
Условие 2. Определите значения параметра, вызывающего образование ровно четырех корней системы
Делаем замену системы уравнений:
Получение результата, содержащего четыре корня, требует: уравнение 2x4 - 2|a + 1|x2 + 2a + 1 = 0 должно содержать четыре различных корня. Заменим x2 буквой “t”, преобразуя биквадратное уравнение в квадратное. Получаем: 2t2 - 2|a + 1|t + 2a + 1 = 0. Требуются положительные корни. Условие получается при возникновении положительного дискриминанта, отрицательного второго члена, положительного свободного члена. Запишем систему уравнений, решим, найдя ответ.
Получаем: a∊(-0,5; 1 - √2); (1 + √2; +∞).
В статье были рассмотрены примеры 18 задания ЕГЭ по математике, принципы решения уравнений. Планируете выполнять номера дополнительно, готовиться самостоятельно? Подумайте о курсах «Уникум» Российского университета дружбы народов. Центр предлагает занятия под руководством опытных преподавателей-экспертов ЕГЭ. Вы получите доступ к порталу Unikum, содержащему полезные материалы, тесты. Он открыт круглосуточно, получится готовиться в любое удобное для вас время. Центр «Уникум» ждет вас!
Содержание данной статьи носит ознакомительный характер. Готовясь к сдаче ЕГЭ, пользуйтесь дополнительными источниками информации!
