Тут разгребал комментарии, появившиеся в моих статьях за выходные, и нашёл очень интересный. Ответ на него стоит целой статьи:
Стив Май, не понял,Вы предлагаете не учить и не пользоваться правилами, просто "видеть" что-то? Интуицией пользоваться вместо чётких определений,аксиом,теорем? Странно.
Я там кратенько ответил, что на самом деле всё с точностью до наоборот. Что это в школах сейчас учат пользоваться "интуицией" вместо определений.
Сначала я это докажу, а потом поясню.
Все учились в школах. В 7 классе. В алгебре есть такое понятие, как "алгебраическое выражение". Все о нём знают, все это слово слышали и произносили. Есть задачи "упростить выражение" или "привести выражение к указанному виду" и так далее. Есть дробные, тригонометрические выражения и прочее.
Я предлагаю всем пройти простой тест:
Если Вы получили положительный результат, то у меня для Вас хорошие новости: Вы входите в тот процент людей, которые пользуются математическими определениями.
Если хотя бы один вариант у Вас вызвал трудности или удивление после теста, то рекомендую ознакомиться с определением выражения:
Алгебраическое выражение состоит из букв и чисел, между которыми стоят знаки арифметических действий, также может содержать скобки. Алгебраическое выражение должно иметь смысл.
Алгебра 7 класс.
Есть неплохое определение на Википедии, более математичным языком описывающее то же самое.
{Здесь будет статистика ответов, когда их наберётся достаточно, но я заранее знаю, какая она будет. Предварительный прогноз 1-2% правильных ответов, и это со скидкой на то, что мой блог читают люди, близкие к математике.}
UPD 2: Результаты тестирования
За пару дней набралось больше 300 ответов. На момент обработки было 296 ответов. Были ответы вроде "отмечу всё" или "не отмечу ничего". В комментариях даже написали, что "подпортили" статистику. Но на общем фоне - незначительно.
Верные ответы отмечены знаком (*) - это всего два пункта. Не смотря на то, что первое выражение ("5") набрало около трети "голосов", а второе - дробное - более восьмидесяти процентов, действительно безошибочно ответивших читателей очень мало. В своём прогнозе я ошибся в 10 раз. 17,2% пользователей отметили ровно 2 выражения. Не 1-2%, как я считал, но тоже очень мало. Слишком мало для моей аудитории - "слегка за 20". Хотя, казалось бы, задание очень простое, а читатели учились в "старой" школе.
Объяснения
Что я хотел этим показать? Что в школе очень часто ученик вырабатывает своё собственное "интуитивное определение" какого-то слова, которое часто произносит учитель. Далеко не всегда это "определение" совпадает с математичным. Очень сильно "портят малину" всякие петерсонихи с их сложными словами в начальной школе. В итоге, когда ученик дорастает до "математического определения", оно не может вытеснить "интуитивного". Если "интуитивное" не расходится с "математическим" в критических местах, то и серьёзных проблем не возникает. Но даже отсутствие проблем и оценка "отлично" не означает, что ученик не использует "интуицию" вместо математики.
Но при этом всём очень обидно, что учитель не считает нужным выяснить, каким же определением пользуются дети, хотя бы с помощью аналогичного теста. Можно составить такой тест на определение арифметических действий типа деления, на определения из геометрии, тригонометрии и вообще.
Я же предлагаю учить "видеть" реальные определения.
Тест, кстати, относится к разряду "разрушающего контроля" в том смысле, что он показывает учителю и самому ученику, где проблема. А это уже полпути к решению.
PS.
Хотели, чтобы я показал, как учить - я показал. Даже с подробными разъяснениями.
PPS.
И когда я говорю, что лучше не учить вовсе, чем учить так, я имею в виду именно это - неосознанное формирование у ученика ложных "интуитивных" определений.
PPPS.
Кроме двух выражений в тесте есть: равенство двух выражений - 2 шт, комплект из двух формул (суть равенств двух выражений) - 1 шт, определение предела последовательности - 1 шт, запись, лишённая смысла из-за несоответствия скобок - 1 шт, запись, лишённая смысла из-за нарушения порядка расстановки знаков действий - 1 шт, равенство двух выражений, лишённое смысла из-за отсутствия второго - 1 шт. Кстати, последнее очень привычно людям, потому что именно в таком виде часто "задаются примеры" на вычисление/преобразование.
UPD:
К сожалению, Яндекс-формы не позволяют отследить выбор неправильных ответов на ряду с правильными. Я обработаю статистику сам, когда наберётся хорошая выборка