Недавно мне попался сборник с самостоятельными и контрольными работами по математике для 5 класса. И немного пролистав его, я сразу увидел много интересных задачек, которые мне показались даже сложными для младших классов. В этой заметке я разберу 11 задач из этого сборника. Сначала будут сами задания, а потом решения.
Список задач
Задача 1. Сколько существует различных восьмизначных чисел, сумма цифр каждого из которых равна 2?
Задача 2. Запишите все трехзначные числа, в которых число сотен в 2 раза больше числа десятков, а число единиц на 2 меньше числа сотен.
Задача 3. Отметьте четыре точки A, B, C и D так, чтобы луч AB пересекал прямую CD, а луч CD не пересекал прямую AB.
Задача 4. Начертите два треугольника так, чтобы их объединение было:
а) треугольником
б) пятиугольником
в) четырехугольником
г) шестиугольником
Задача 5. Какие фигуры могут быть получены при пересечении двух четырехугольников?
Задача 6. К какому четырехзначному числу надо прибавить 7, чтобы получилось наименьшее пятизначное число?
Задача 7. На координатном луче отмечены точки A(a), B(a+3), C(a-4), D(a+1). Единичный отрезок равен 4 см. Чему равны длины отрезков AD и BC? Каковы координаты точек, удаленных от точки D на 12 см?
Задача 8. Найдите наиболее удобным способом сумму всех трехзначных чисел.
Задача 9. Найдите двузначное число, которое в 9 раз больше суммы его цифр.
Задача 10. Для нумерации страниц книги использовано 2052 цифры. Сколько страниц в этой книге ?
Задача 11. Постройте треугольник так, чтобы все данные точки лежали на его сторонах:
Остановитесь на этом моменте, возьмите карандаш и черновик в руки, попробуйте решить самостоятельно данные задачки. Неплохо будет проверить свои школьные знания. После картинки будут решения :)
Разборы задач
Задача 1. Сколько существует различных восьмизначных чисел, сумма цифр каждого из которых равна 2?
Решение:
Двойку можно получить двумя способами 2 = 2 + 0 и 2 = 1 + 1. При этом надо учесть, что самый старший разряд восьмизначного числа не может быть равен 0, иначе это уже не будет восьмизначное число. Поэтому:
Ответ: Имеется 8 различных чисел.
Задача 2. Запишите все трехзначные числа, в которых число сотен в 2 раза больше числа десятков, а число единиц на 2 меньше числа сотен.
Решение:
Обозначим наше число в виде [a][b][c]. Далее применяем условия: a = 2b и c = a – 2 = 2b - 2. Теперь наше число можно записать по-другому [2b][b][2b – 2]. Отсюда видно, что число b лежит в диапазоне от 1 до 4, судя по первому разряду, который должен лежать в диапазоне от 1 до 9. Тогда получаем следующие возможные числа: 210, 422, 634, 846.
Ответ: 210, 422, 634, 846.
Задача 3. Отметьте четыре точки A, B, C и D так, чтобы луч AB пересекал прямую CD, а луч CD не пересекал прямую AB.
Решение:
Задача 4. Начертите два треугольника так, чтобы их объединение было:
а) треугольником
б) пятиугольником
в) четырехугольником
г) шестиугольником
Решение:
Задача 5. Какие фигуры могут быть получены при пересечении двух четырехугольников?
Решение:
Для зрительной простоты будет брать два четырехугольника, близкие по форме к прямоугольникам. Тогда при пересечении могут получиться: точка, отрезок, треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник, семиугольник, восьмиугольник. Проиллюстрируем это:
Задача 6. К какому четырехзначному числу надо прибавить 7, чтобы получилось наименьшее пятизначное число?
Решение:
Наименьшее пятизначное число – 10000. Вычтем из него 7 и получим 9993, которое является четырехзначным.
Ответ: 9993
Задача 7. На координатном луче отмечены точки A(a), B(a+3), C(a-4), D(a+1). Единичный отрезок равен 4 см. Чему равны длины отрезков AD и BC? Каковы координаты точек, удаленных от точки D на 12 см?
Решение:
Получаем, что AD = 4, BC = 28.
Найдем координаты точек, удаленных от точки D на 12 см:
Ответ: AD = 4, BC = 28; координатами точек, удаленных от точки D на 12, являются a+4 и a-2.
Задача 8. Найдите наиболее удобным способом сумму всех трехзначных чисел.
Решение:
Трехзначные числа расположены в диапазоне от 100 до 999, поэтому искать их прямым сложением - процесс трудоемкий и подверженный ошибкам. Поэтому единственный выход – воспользоваться формулой арифметической прогрессии. Но, если учащийся еще не изучал тему прогрессий, то наиболее простой способ вычисления будет следующим (что в принципе почти является выводом суммы арифметической прогрессии):
Ответ: 494550
Задача 9. Найдите двузначное число, которое в 9 раз больше суммы его цифр.
Решение:
Ответ: 81
Задача 10. Для нумерации страниц книги использовано 2052 цифры. Сколько страниц в этой книге?
Решение:
Для начала распишем, сколько потребуется цифр для нумерации однозначными цифрами, а также сколько мы сможем пронумеровать страниц. Аналогично рассчитаем для двузначных и трехзначных. Далее посмотрим, когда количество цифр превысит количество, заданное в условии. Исходя из этих данных, найдем количество трехзначных чисел, чтобы сумма цифр сравнивалась с 2052. Затем посчитаем общее число страниц.
Ответ: в книге 720 страниц.
Задача 11. Постройте треугольник так, чтобы все данные точки лежали на его сторонах.
Решение:
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в VK
Репетитор IT mentor в Instagram
Репетитор IT mentor в telegram
