Приветствую Вас!
Предлагаю разобрать неравенства из второй части ОГЭ, задание №20. На первый взгляд они кажутся кому-то сложными, но на самом деле, если разобраться, ничего такого. Рассмотрим несколько вариантов, которые имеются на экзамене. К примеру, такой:
Как показывает опыт, первое что приходит в голову ребятам - раскрытие скобок. Но, если их раскрыть, то ничего дельного не получится. Задача усложнится, и станет совсем непонятно что делать дальше.
Для более легкого понимания того, что нужно сделать в данном случае, разберем два элементарных неравенства:
1) -2(х-2)>0 и 2) 2(х-2)>0.
Как их обычно решают? А вот так:
1) -2х+4>0, 2) 2x-4>0,
-2x>-4, 2x>4,
x<2. x>2.
Основная масса поступает именно так: сначала мы умножаем на двойку (раскрытие скобок), а потом на нее же и делим (нахождение икса), т.е. выполняем два взаимно обратных действия. Но можно же сразу на нее поделить!
1) -2(х-2)>0 / (-2), 2) 2(x-2)>0 /2,
x-2<0, x-2>0,
x<2. x<2.
Главное, что здесь нужно помнить, что при делении/умножении неравенства на минус - меняется значок неравенства! Ну, собственно, в первом решении также. И, вообще, так всегда происходит.
Так вот.. Возвращаясь к экзаменационному неравенству, применим к нему второй метод решения, т.е. разделим на (2,5 - sqr(6) ), ведь это является числом, только оно имеет приблизительное значение. Но что это меняет? Число, есть число, нам просто нужно понять положительное оно или отрицательное.
Для этого сравним оба числа между собой. Что больше 2,5 или корень из 6? Как это определить? - Возвести в квадрат каждое из них. 2,5^2=6,25 (sqr(6))^2=6. Следовательно, первое число больше и разность положительна. Теперь делим на нее и получаем обычное линейное неравенство:
Теперь разберем дробное неравенство. К примеру, такое:
Что мы здесь видим? - неравенство дробное и оно меньше нуля. Число 15 само по себе положительное, следовательно, чтобы дробь была меньше нуля, знаменатель должен быть отрицательным. То есть:
(4+x)(2-5x)<0.
Данное неравенство является квадратным и уже разложенным на множители, поэтому скобки раскрывать здесь не нужно. Но навести порядок просто необходимо. Как видно, в скобках стоит сначала число, а затем икс. Необходимо поменять их местами, чтобы знаки на числовой прямой стояли в порядке "+", "-", "+".
Можно, конечно, ниче и не менять, но дети привыкли именно к такому порядку знаков и нужно объяснить, что минусы от иксов нужно убирать, умножив выражение на (-1):
Решение уравнений х+4=0 и 5х-2=0, это отыскание нулевых точек, которые и выставляются на числовой прямой, обычно делается справа от решения самого неравенства.
Разберем неравенство, где присутствует минус:
Проанализируем то, что видим: неравенство дробное, числитель отрицателен, а сама дробь - больше нуля. Следовательно, чтобы дробь была положительна при отрицательном числителе, должен быть отрицательный знаменатель. Также наведем порядок, как и в предыдущем выражении и получим:
На что еще нужно обращать внимание при решении дробных неравенств? В приведенных примерах значки самих неравенств строгие, т.е. строго больше, либо меньше нуля. Без знака равно. А вот, если значок нестрогий, т.е. знак равно присутствует, то при отбрасывании числителя, значок у неравенства при знаменателе поменяется на строгий, т.к. на ноль делить нельзя! Например:
Думаю, ситуация для многих прояснилась.
Благодарю за внимание..