Абстрактные задачи о сферическом коне в вакууме всегда неинтересно решать. Более того, решая такие задачи, волей-неволей возникает вопрос: а на кой мне все это нужно? Где пригодится эта ваша физика и математика?
Я люблю задачи, которые так или иначе привязаны к жизни. Пусть они с некоторыми упрощениями, допущениями и так далее, но хотя бы понятно, где это все может пригодиться. У меня уже были физические задачи, которые нужны в разных профессиях. Но те задачи были довольно простыми, если не сказать устными.
Эта же задача предлагалась абитуриентам на вступительном экзамене в МФТИ в далеком 1969 году, то есть более 50 лет назад. Заодно, кстати, можете оценить, есть ли что-то подобное сегодня в ЕГЭ?
Две дороги , направленные под углом 120° друг к другу, выходят на круговую асфальтированную площадь радиуса r=58 метров. С какой максимальной скоростью может ехать по площади автомобиль, чтобы попасть с одной дороги на другую, если коэффициент трения между асфальтом и шинами автомобиля k=0,4?
Чтоб вы правильно поняли условие задачи, считаю нужным пояснить. Речь идет не о круговом перекрестке с "кольцом" в центре, а о дорогах, которые выходят на полностью заасфальтированную площадь в форме круга. Что-то типа того, как на картинке выше, только для машин, а не для пешеходов.
На всякий случай нарисую рисунок. Может быть для кого-то он будет одновременно подсказкой.
Решение
Самое главное — это изначальные рассуждения. Минимальная скорость автомобиля будет на участке с максимальной кривизной. Поэтому, чтобы скорость на "кривом" участке была максимальной, траектория автомобиля должна представлять собой часть окружности. В противном случае на отдельных участках кривизна траектории будет больше кривизны этой окружности и автомобиль будет вынужден двигаться с меньшей скоростью.
Исходя из этих соображений, по площади автомобиль будет двигаться по окружности. Его траекторию я отмечу красным цветом на рисунке ниже. Немного повспоминав геометрию, можно прийти к выводу, что радиус траектории, по которой будет двигаться автомобиль по площади, равен R=r√3. На рисунке я постарался весьма подробно изложить рассуждения. То есть R≈100 метров.
А дальше начинается физика. Центростремительная сила, которая пытается сместить автомобиль на траекторию бОльшего радиуса, во время движения не должна превышать kmg. Пограничное состояние, когда автомобиль движется про красной траектории на грани сцепления шин, описывается равенством: mv²/R=kmg. Отсюда v=√(kgR)=√(0,4•10•100)=√400=20 метров в секунду или 72 километра в час.
Как вы понимаете, это весьма прикладная задача. Вполне похожие задачи могли стоять перед инженерами при проектировании развязок и дорог общего пользования. После неё не возникает вопрос: "а где мне это пригодится?"
Как вам? Обязательно пишите в комментариях понравилась вам задача или нет, как решали, удалось ли решить быстро или нет? Не забываем ставить лайк статье и заходить на мой Ютуб-канал.
Ещё интересно: Советская задачка плотника Стружкина. Вот раньше были задачки так задачки
Советская задачка про канат. Каких вариантов только не было, но правильный дали единицы
Как Макс Вертгеймер хотел одурачить Альберта Эйнштейна. Задача уже 87 лет вводит людей в заблуждение
