Когда-то давным-давно, когда ещё не было ни ОГЭ, ни ЕГЭ, абитуриентам после школы приходилось сдавать экзамены в каждом институте, в который они хотели поступить. Хочешь в МФТИ — приезжай и сдавай вступительные или участвуй в олимпиадах в течение года. Не поступил? Ну, прости, либо до следующего года, либо беги со всех ног и пытайся поступить на Мехмат МГУ. Или в Бауманку, или в МИФИ, или дуй обратно в свой Крыжополь и подавай документы в местный Политех. Туда-то ведь точно должны взять?
Это к слову о том, зачем нужно ЕГЭ. Затем, чтобы сдавать экзамены только один раз, а не 100500. Но вернёмся к нашим вступительным.
В 1991 году, чтобы поступить в МФТИ нужно было отлично сдать экзамены по математике и физике. Задачи шли, как правило, от простой к сложной. Всего их было 5, а это была второй. Попробуйте решите и сравнить уровень сложности с нашими задачами из части С в ЕГЭ. Что проще?
Итак, у нас есть равнобедренный треугольник АВС (АВ=ВС), в который вписана окружность. Через точку М, лежащую на АВ, проведена касательная к окружности, пересекающая прямую АС в точке N. Найти боковую сторону треугольника ABC, если АС=СN=a, а МВ=⅛АВ. Для наглядности все условия указаны на рисунке. Одинаковым цветом отмечено то, что одинаково.
Как обычно, нескромно предлагаю вам сначала порешать самостоятельно. Задача не требует каких-то специальных знаний, только школьные формулы и теоремы. И к слову сказать, знать тут надо совсем немного.
Подсказка
Все что надо знать для решения, это теорема косинусов и свойства касательных к окружности.
Если подсказки не помогли, то ниже решение.
Решение
Чтобы не загромождать рисунок, не усложнять понимание и не отбивать у вас желание читать, не буду вводить буквы для точек касания сторон треугольника и окружности. Просто вспомним, что любые два касательных отрезка к одной окружности, проведенные из одной точки, равны. Буду отмечать их парами и обводить одинаковыми цветами. Смотрим рисунок ниже.
Синие части равны а/2. Тут, наверное, надо пояснить, что это действительно так, потому что треугольник АВС равнобедренный и высота, опущенная из В на АС будет проходить через центр окружности и делить АС пополам.
Красные части, судя по рисунку, равны х-⅛х-½а=⅞х-½а.
Фиолетовые части равны а+а/2=3а/2, так как АС=СN по условию.
Теперь применяем теорему косинусов:
MN²=AM²+AN²-2•AM•AN•cos∠А;
(⅞х-½а+3а/2)²=(⅞х)²+(2а)²-2•⅞х•2а•cos∠A;
Дальше вроде бы дело техники, решаем, приводим подобные слагаемые и... непонятно только, что делать с косинусом угла А.
И тут самое время посмотреть на рисунок ниже и вспомнить, что косинус — это отношение прилежащего катета к гипотенузе, что в нашем случае означает, что cos∠A=а/(2х).
Подставляем, преобразуем (мне неудобно писать дроби и степени, поэтому я это упущу в лучших традициях педагогики) и получаем что-то такое: 7х=3•4а-7а; х=5а/7.
Вот и вся задачка. Как вам? Как думаете, что легче: эта задача или задачки из части "С" ЕГЭ? И не забываем заходить в гости на мой Ютуб-канал "Этому не учат в школе".
Ещё интересно: "Пятерка за четверть обеспечена" — докажите учителю, что 0=1 и посмотрите на реакцию. А потом покажите в чем подвох
"Сложная" задача из ОГЭ, которой пугают детей в школе, решается устно за 10 секунд
Олимпиадная задача, которая ставит в тупик даже технарей. Надо найти площадь красных треугольников