Работа учителя в чем-то очень близка к актерской деятельности. И учителю, как хорошему актеру, приходится выступать в различных амплуа. Например, детектив.
Представьте...
Обычная общеобразовательная школа. Класс математики. Звенит звонок и ни о чем не подозревающие дети рассаживаются по своим местам.
Тема урока: решение квадратных уравнений.
Учитель не торопится. Проверяет домашнюю работу, спокойно подходит к доске и начинает рассказывать. Его речь звучит чуть-чуть обыденно и даже лениво, пока не доходит до фразы: "Если дискриминант отрицательный, квадратное уравнение не имеет корней..."
Пауза. Его взор медленно скользит по классу. Он привык к этим лицам. Кто-то заискивающе смотрит на него в ожидании продолжения. У кого-то во взгляде читается вызов, кто-то вообще давно не здесь и пялится в окно.
Тишина затянулась. Даже те, кто не проявлял особого интереса к теме урока напряглись и с недоумением стали посматривать в сторону доски.
Именно этого мгновения он и ждал. Следующие слова, учитель произносит медленно с небольшими интервалами между словами: "на множестве вещественных чисел".
Снаряд взорвался. Дальше нужно выдержать натиск и рассказать чуть больше, чем предполагается программой. На будущее так сказать. Познакомить детей с множеством комплексных чисел. Но лишь слегка, так чтобы ни у кого не возникло чувство понимания, что же это такое. Пусть останутся вопросы. Именно они и заставят думать.
Как же так вышло, что появились числа, на множестве которых любой многочлен n-ой степени имеет ровно n корней? С учетом кратности, т.е. корни могут быть равными.
Началось всё с абстрактной идеи о существовании(возможно в параллельной вселенной) корня из -1. Это число стали обозначать буквой "i" и называть мнимой единицей. Эта мысль породила поле комплексных чисел, как расширение над полем вещественных чисел. Комплексным числом стали называть формальную сумму a + bi. Где a и b вещественные числа. Еще раз подчеркну эту мысль. Эти числа просто выдумали. Но они оказались очень удобны и полезны.
Затем были сформулированы правила выполнения арифметических действий с комплексными числами: сложение, умножение, возведение в степень и обратные к ним. Нас будет интересовать извлечение корня n-ой степени из комплексного числа.
Для начала рассмотрим, как извлекается квадратный корень из комплексного числа:
Как видно, дело это довольно утомительное, хотя это только корень второй степени. Страшно представить, сколько усилий придётся потратить, чтобы извлечь корни более высоких степеней. Но есть лайфхак. Так называемая тригонометрическая форма комплексного числа:
С ее помощью можно довольно просто найти корень любой степени:
А дальше немного техники и можно находить корни многочленов:
