Конечно, придется вычислить интеграл от дробно-рациональной функции... но когда это нас останавливало, тем с более с учетом того, что понадобятся только забытые школьные знания. Итак, поехали!
Ну что же, придется поработать с подынтегральным выражением. Вынести за скобки ничего не получится, так что раскрываем числитель:
Обозначил дробь буквой "А", чтобы потом не переписывать выражение. Так-так, чтобы проинтегрировать выражение А необходимо разделить многочлены друг на друга: если нам повезет (а нам повезет), то получим простое для интегрирования выражения. Крепитесь, само деление:
Здесь всё просто, главное не запутаться со степенями с нулевыми коэффициентами: их я всегда в делимом записываю в явном виде.
Ау, автор! Где число π ?
Пару секунд, товарищи! Давайте займемся интегрированием. Благодаря чудесному остатку "-4", у нас есть уникальная возможность взять интеграл, используя только табличные функции:
Ну вот и оно в компании с уже ранее упоминавшейся дробью 22/7, которой уже Архимед ограничивал сверху число π больше, чем 2000 лет назад.
Осталось теперь только присмотреться к подынтегральной функции. Заметим, что:
Еще более наглядно можно убедиться в правильности вывода, если построить график этой функции:
Площадь заштрихованного сегмента уж точно больше 0. Ну как Вам? Больше всего меня интересует, кто и как придумал столь изящный способ.