Достаточно распространённое – встречается во многих более-менее сложных задачах. Здесь и подобие треугольников и свойство двух секущих проведённых из одной точки и наша задача.
Хоть здесь и подобия по первому признаку, то есть по двум углам, всё равно придётся использовать четырёхугольник, чтобы это доказать. От этого и становится подобия достаточно сложным, но всем, кто собирается сдавать ОГЭ по математике на «5» – это подобие лучше запомнить. Есть вероятность, что во второй части на экзамене попадётся именно это подобие.
Дальше – полное условие, а за ним подсказки. Пробуйте сперва решить самостоятельно, и только если не получается, то заглядывайте в подсказки.
Условие
Через вершины А и В треугольника ABC проведена окружность, пересекающая стороны ВС и АС в точках D и Е соответственно. Площадь треугольника CDE в 7 раз меньше площади четырёхугольника ABDE. Найдите DE и радиус окружности, если АВ = 4 и ∠С = 45°.
Подсказки
Как уже говорилось выше, для доказательства подобия треугольников ABC и CDE сперва нужно рассмотреть четырёхугольник ABDE. Это вписанный четырёхугольник, у которого противолежащие углы должны в сумме давать 180° (свойство вписанного четырехугольника). Рассмотрим, например, углы EAB и BDE – они в сумме дают 180°. А ещё угол BDE и угол EDC – смежные, а значит в сумме – тоже 180°. Из этих двух выражений следует что углы EAB и EDC равны. Угол C – общей, а треугольники подобны по двум углам.
Так как треугольники подобны, то отношение площадей данных треугольников равно коэффициенту подобия возведённому в квадрат. Коэффициент подобия можно рассчитать из площади треугольника и четырехугольника. А потом уже, зная коэффициент подобия, можно узнать искомую сторону ED.
Осталось найти радиус вписанной окружности. Который можно найти либо через теорему синусов, либо через подобие треугольников. Пробуйте!
