Вписанная и описанная окружности | ЕГЭ Профиль №16

Разберём задание №16 из второй части ЕГЭ по математике, планиметрия, профильный уровень. На этот раз довольно короткое доказательство и решение. Поэтому быстро, по-пунктам. Поехали!

Условие

Взято из сборника вариантов для подготовки к ЕГЭ «И.В. Ященко ЕГЭ–2021 Математика Профильный уровень». Рисунок – листайте в галерее ниже.

Вариант 11. Часть 2. Задание 16.

Рассуждение

• Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис;
• Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров (не пригодится в решении);
• Углы ∠POA и ∠PAO — ни вписанные, ни центральные;
• BO — биссектриса, делит угол ∠ABC пополам, а дуги на которые опираются «половинки» – равны;
• В треугольнике ∆ABC известны два угла, можно найти третий, и он табличный;
• Радиус описанной окружности и два табличных угла в треугольнике намекают на теорему синусов — можно найти две стороны;
• Площадь треугольника можно найти, в том числе, через угол, а в ∆POA только один угол опирается на известную дугу;
• ∆POA — равнобедренный, если доказан пункт а.

Доказательство (пункт а)

Необходимо доказать, что ∠POA = ∠PAO, рассмотрим рисунок:

1. BP и AO — биссектрисы углов ∠ABC и ∠BAC, т.к. проходят через центр вписанной окружности;
2. ∠PAC = ∠PBC — опираются на дугу PC;
3. ∠AOP = ∠OAB + ∠OBA — внешний угол для ∆AOB, равен сумме не смежных с ним углов;
4. ∠POA = ∠PAO — по сумме углов.

Решение (пункт б)

Найдём площадь ∆POA, рисунок оставим прежний:

1. ∠ACB = 180° – ∠ABC – ∠BAC = 45° — по сумме углов ∆ABC;
2. ∠APB = ∠ACB = 45° — опираются на дугу AB;
3. ∠ABP = ∠PBC = 30° — т.к. BP биссектриса угла ∠ABC;
4. AP / sin ∠ABP = 2R — по теореме синусов;
5. AP = PO = 6 — ∆APO равнобедренный, что следует из доказательства выше (пункт а);
6. 1/2 • PO • PA • sin ∠APB = 9√2 — площадь треугольника через две стороны и синус угла между ними.

Ответ: 9√2

Заключение

Достаточно лаконичное получилось и решение и доказательство, что же для этого пригодилось:

• Центр вписанной окружности и точка пересечения биссектрис треугольника (а);
• Вписанные в окружность углы и внешние углы треугольника (а и б);
• Сумма углов треугольника (б);
• Теорема Синусов (б);
• Формула площади треугольника через две стороны и угол (б).

Применение

Подобное задание можно найти в том же сборнике в варианте 12. Интересное было доказательство и следствие, что ∆AOP – равнобедренный. Но и его не получится часто использовать. Просто интересное.

Пробуйте, решайте, экспериментируйте и делитесь решениями в комментариях. Подписку оформляйте, лайк прожимайте. Удачи!

Больше заданий из ЕГЭ:

🌒 Трапеция, в которую можно вписать две окружности

🌓 Три равнобедренных прямоугольных треугольника

🌔 Точка вне прямоугольника и вписанный четырёхугольник