Друзья, я люблю точные науки и математика тому не исключение. Я два года веду свой блог и периодически публикую статьи, где с помощью прикладной математики и геометрии решаются различные бытовые трудности, если вам будет интересно, вот пятерка наиболее популярных статей, они доступны по ссылкам:
1. Как с помощью обычного угольника быстро размечать любые углы: 10°, 20°, 30°, 40° и т.д.
2. Зная тригонометрию, вам не придётся скакать по крыше с рулеткой
3. Существует ОДНА универсальная формула для вычисления площади и объема
4. Как измерить ширину реки с берега не переплывая?
5. Три классных способа узнать высоту объекта с земли, не забираясь наверх
Недаром математику называют царицей наук! С помощью нее доказываются и вычисляются очень многие вещи и размеры балки, которая будет иметь наибольшую прочность, не исключение.
Балка — это один из основных элементов любой строительной конструкции и прочность её напрямую зависит от того, какое поперечное сечение лежит в её основе.
Из физики мы знаем, что прочность прямоугольной однородной балки зависит от ее длины, ширины, высоты и материала, из которого она изготовлена (дерево, сталь и пр.). Так вот, прочность подобных балок вычисляется по формуле: k*a*h², где:
k - коэффициент, который зависит от длины и от материала;
a - ширина балки;
h - высота балки.
Наша задача сводится к следующему:
Пусть мы имеем бревно с радиусом R. Каковы должны быть размеры и сечение балки, выпиленной из этого бревна, чтобы балка имела наибольшую прочность и могла держать максимальную нагрузку?
Ниже будут расчеты, которые мы проходили в школе, но в силу узкого круга применения мат.анализа, 99% людей их забыли, поэтому возможно они кому-либо покажутся сложны. Если вы не хотите в них вникать, можно сразу переместиться в конец статьи к разделу "ИТОГИ".
Вычисление
Конечно же, каждое бревно имеет разный диаметр, поэтому в данной статье, я предлагаю рассчитать как стороны нашей балки в зависимости от диаметра, так и соотношение высоты к ширине бруса и получить универсальное значение, применимое ко всем балкам.
Итак, на рисунке выше изображен треугольник АВС и его катет АС, являющийся высотой балки, по теореме Пифагора будет равен:
АС² = АВ² - ВС², отсюда АС = √(4r²-X²).
Подставив это значение в сопроматовскую формулу прочности прямоугольной балки k*a*h², получим:
k*Х*(4r²-X²)
Теперь, раскроем скобки: k*Х*(4r²-X²) = 4*r²*k*Х - k*Х³ и для наглядности построим на координатной сетке для этой «прочностной» функции график. Для построения графика я использовал известный интернет-сервис для студентов, привожу скриншот:
Далее, чтобы из функции прочности определить искомую оптимальную ширину балки Хмах (проекцию самой высокой точки на ось абсцисс), нам нужно найти производную от этой функции, которая характеризует предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента.
Производная функции y = 4*r²*k*Х - k*Х³ равна: 4r²*k - 3k*Х², теперь найдем значения Х, при которых производная обращается в ноль. Перенеся Х влево, а остальные значения вправо, я получил два значения икса, которые равны:
Х = ± 2r*√3 / 3, а так как ширина балки всегда положительная, то решение со знаком минус не использую.
В итоге мы получили, что у балки, вырезанной из бревна с радиусом R, оптимальная ширина должна составлять 2r*√3/3 (проекция пика графика на ось Х), теперь подставим эту ширину в ту самую формулу, где мы по теореме Пифагора выражали высоту. Итак, АС или h = √(4r²-X²). Подставляя вместо Х полученное значение, получим:
h = √(4r²-(2r*√3/3)²) = 2r*√6/3
Итоги
Как вы видите, ширина балки у нас равна 2r*√3/3, а высота ее 2r*√6/3. Таким образом, измерив диаметр бревна, вы легко найдете стороны самой надежной балки, которая могла бы получиться из этого кругляка.
Приведем всё к нормальному человеческому виду и вычислим соотношение.
Отношение высоты к ширине равно (2r*√6/3) : (2r*√3/3) = √2 = 1,41 или в виде простой дроби это выглядит так: 7/5.
Данное вычисление говорит о том, что ОПТИМАЛЬНОЕ СООТНОШЕНИЕ СТОРОН ПРЯМОУГОЛЬНОЙ БАЛКИ из ствола дерева РАВНО 7:5.
Спасибо Вам за внимание и прошу прощения за сложные расчеты!
