Разберём очередную задачу из профильного уровня ЕГЭ. Наверное, это самая часто встречающаяся (поправьте, если не так) в сборнике «ЕГЭ-2021. Математика. Профильный уровень. Ященко И. В.». Начнём?
Условие
Рассуждение
Прежде, нарисуем прямоугольный треугольник, на сторонах которого построены ещё три прямоугольных равнобедренных треугольника:
- Катеты и гипотенуза данного треугольника - гипотенузы равнобедренных прямоугольных треугольников.
- В равнобедренных прямоугольных треугольниках — углы при основаниях по 45°.
- А еще в таких треугольниках — постоянное отношение сторон 1 : 1 : √2.
- (а) Доказать, что LC — высота, а значит ещё прямые углы и прямоугольные треугольники.
- (б) Площадь треугольника можно найти по 5 формулам — но известна высота. Скорее всего нужно узнать основание, к которому проведена эта высота.
Доказательство (пункт а)
Достроим отрезок CL и треугольник ∆KLM.
И заметим, что противолежащие углы в четырёхугольнике CALB — по 90° (в сумме 180°), а значит можно описать окружность (обратное утверждение свойству углов вписанного четырёхугольника необходимо уметь доказывать).
- ∠ACL = ∠LCB = 45° — как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги (хорды) AL и BL;
- ∠ACK = ∠BCM = 45° — как равные при основаниях равнобедренных прямоугольных треугольников.
- CL ⟂ KM — по равенству смежных углов (см. выше).
Решение (пункт б)
Из вершины B достроим перпендикуляр к высоте LC, получившийся четырёхугольник CEBM — параллелограмм (противолежащие стороны попарно параллельны), прямоугольник (один из углов 90°) и квадрат (две соседние стороны равны CM = MB).
Рассмотрим два треугольника ∆ABC и ∆ELB:
- EB : CB = 1 : √2 — катет и гипотенуза в прямоугольном равнобедренном треугольнике ∆CBM;
- AB : LB = √2 : 1 — катет и гипотенуза в прямоугольном равнобедренном треугольнике ∆ALB;
- ∠CAB = ∠CLB — опираются на одну дугу (хорду) CB.
Из подобия треугольников ∆ABC ~ ∆ELB следует и отношение соответственных сторон:
EL = AC / √2 — из подобия;
KC = AC / √2 — катет и гипотенуза в прямоугольном равнобедренном треугольнике ∆KAC.
Из выше сказанного следует, что EL = KC, а значит и LC = KM = 10.
Можно найти площадь треугольника ∆KLM через половину основания и высоту.
Ответ: 50
Заключение
Нам пригодилось:
- Свойство вписанных углов (а);
- Свойство равнобедренного треугольника (а);
- Признаки квадрата (б);
- Подобие треугольников (б);
- Формула площади треугольника (б).
Применение
В данной задаче интересное (непростое) подобие прямоугольных треугольников. Можно, кстати, и не через подобие, а через введение новых переменных (обозначит стороны меньшего треугольника через a, b и c и выразим стороны большего). Ну и обратное утверждение свойству углов вписанного четырёхугольника — его обязательно надо уметь доказывать и использовать. Само утверждение на 182 стр., а доказательство — задача №729.
