Задача не такая простая, как кажется. На рисунке даны 4 квадрата, площадь самого маленького, левого, равна 4. Сторона третьего (самого большого) квадрата на 2 больше, чем сторона второго квадрата. Надо найти площадь четвертого (правого) квадрата. Ещё есть три полуокружности, которые касаются квадратов так, как показано на рисунке ниже.
Простите автора за криворукость и неточность рисунков (не ракету же строим, а развлекаемся), но я облегчил вам задачу и для наглядности нарисовал полуокружности разными цветами, чтобы вы не запутались. Ну и плясать тут, конечно, надо именно вокруг радиусов этих окружностей.
Это задачка с европейских выпускных экзаменов. Она была примерно в полтора десятке (да простят меня учителя русского языка за то, как я склоняю числительные) стран Евросоюза и большинство выпускников её не решили. Точные цифры я уже не помню, но задача попала в список сложных по итогам экзаменов.
Это странно, потому что для решения задачи не нужно знать ничего, кроме формулы площади квадрата и теоремы Пифагора. Ну и, разумеется, полуокружности тут не просто так, надо знать, что такое радиус. Всё, больше тут ничего нет. Короче говоря, задача по зубам любому российскому восьмикласснику.
Решение
Надеюсь, те, кто хотел подумать, подумал. Так что вот вам вспомогательный рисунок. Радиус зеленой окружности обозначим за R1, синей — R2, красной — R3. А за X обозначим сторону искомого квадрата.
Тогда X=R3-R2.
С одной стороны R2=R1+2, а с другой стороны R2 - это диагональ квадрата со стороной R1. Тогда по теореме Пифагора R2=R1√2. Приравниваем два эти выражения: R1+2=R1√2; R1•(1-√2)=-2; R1=2/(√2-1).
Теперь находим R2, вспоминая, что это R1+2. Я с вашего позволения не буду расписывать, как мы приводим к общему знаменателю и приводим подобные слагаемые, а то будет слишком много формул и это отпугнет читателей. Знаете ли, говорят, что каждая формула в тексте сокращает количество читателей в два раза. Так блог у меня не научный, а скорее популярный, я стараюсь, чтобы задачи были с небольшим количеством формул и вычислений. В общем, после подстановки и всех приведений получаем R2=(2√2)/(√2-1).
Таким же макаром найдем R3. R3 — это диагональ в квадрате со стороной R2, стало быть по теореме Пифагора R3=R2√2=4/(√2-1).
Теперь осталось подставить найденные R1 и R3 в формулу для X и получить, что X=R3-R2. После всех сокращений и упрощений, которые я намеренно упускаю получается X=2√2.
Ну а площадь квадрата — это S=X²=(2√2)²=8. Ответ: 8. Всё. Конец. Как и обещал, нам не потребовалось ничего, кроме теоремы Пифагора и формулы для площади квадрата. Решение по силам восьмиклассникам.
Спешу сообщить, что я наконец завел одноименный Ютуб канал, так что вы можете смотреть решения интересных головоломок и задач и там.
Ещё интересно: Задача с иероглифами, которую не разгадали знатоки на "Что? Где? Когда?", а вы — я уверен — отгадаете
Белорусская задача для 4 класса, которая поставила родителей в тупик
