Рассмотрим свойство, которое проходят в 8 классе сразу после пропорциональных отрезков или после подобия треугольников. Такого свойства в оглавлении нет (скорее всего), эту теорему обычно дают внутри других тем (у Л.С. Атанасян , «73 Теорема о вписанном угле» ) ну или в виде задач (с доказательством). Свойство встречается и на экзамене ОГЭ. Несколько таких заданий собраны по ссылке в конце заметки.
Теорема
Если две хорды пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.
Доказательство
Рассмотрим такие хорды AB и CD, которые пересекаются в произвольной точке O:
Задача доказать, что OC • OD = OB • OA.
Соединим попарно точки A и C, B и D:
Получим два треугольника: ∆ACO и ∆OBD. Данные треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников:
- Углы ∠ACD и ∠ABD, как опирающиеся на дугу AD - равны;
- Углы ∠AOC и ∠BOD, как вертикальные - равны.
А значит, верно отношение соответственных сторон в подобных треугольниках ∆ACO ~ ∆OBD:
Теорема доказана.
Применение
Свойство пересекающих хорд встречается и в первой части экзамена по математике ОГЭ: список заданий из первой части в которых ответ можно получить через данное свойство.
