В математике есть понятие нормированного пространства. По поводу ударения в слове "нормированное" существуют расхождения во мнениях. Пока я буду писать этот текст в своей голове буду делать ударение на букву и, если для вас этот вопрос принципиальный, то во время чтения вы можете делать ударение на вторую букву о. В конце концов, разговор у нас не лингвистический. Но вот если бы он был таким, можно было бы задаться вопросом от какого слово образовано это прилагательное и выяснить, что от глагола "нормировать", т.е. устанавливать норму. Иными словами нормированное пространство это пространство на котором установлена норма. Интересно про какую норму вы сейчас подумали? На столько, что попрошу вас ответить на вопрос:
А теперь продолжим говорить, про ту норму о которой первым делом думают математики. Удивительно, но такое довольно серьезное понятие учащиеся российских школ проходят в шестом классе, когда начинают изучать отрицательные числа. Называют они его модулем и изучают, как вспомогательное понятие для вычислений. Но от этого оно не перестаёт быть менее важным. Помните, как определяется понятие модуля? Именно! Это расстояние. И да, можно сказать, что норма это расстояние. А нормированное пространство это пространство на котором задано расстояние, точнее способ находить расстояние, между элементами.
Пожалуй, тут у многих может возникнуть вопрос: "О каком расстоянии между математическими объектами можно говорить? " Между городами понятно, даже между точками более-менее ясно. Но между функциями, числами или какими-нибудь матрицами? Не переживайте, нормой может быть всё что угодно, если оно удовлетворяет трём аксиомам нормы:
Если думать про норму, как про расстояние, эти аксиомы выглядят довольно логично.
В общем-то именно так развлекаются многие математики. Придумывают различные способы вычислять норму и смотрят к чему это может привести. Например, в 1897 Курт Гензель ввел понятие нормы для целых чисел.
Посчитаем с ее помощью расстояние между некоторыми числами:
Из определения видно, что это норма не может быть больше единицы. То есть, все целые числа лежат в круге с радиусом 1. Да, это те самые числа, которых бесконечно много. Но в p-адическом смысле все они довольно близки. р-адическую норму можно распространить и на рациональные числа:
Как видите рациональные числа выходят за пределы круга радиусом 1.
Внимание, сейчас будет сложная часть, рождение p-адических чисел. Как любое рождение оно требует усилий. Представьте, что вы выстроили целые числа в нумерованные последовательности, то есть каждому числу выдали номер и поставили в строй. Нас будут интересовать такие последовательности, для которых при достаточно больших номерах числах находятся очень близко друг к другу, в p-адическом смысле. Как очередь, у которой в начале люди стоят на расстоянии друг от друга, но потом всё ближе и ближе, а в какой-то момент сливаются в одну кучу. У таких последовательностей может быть предел, то есть каждое следующее число оказывается всё ближе к какому-то значению. Но предел не всегда принадлежит тому же множеству. Ведь все стремятся к идеалу, но часто он лежит за границей возможностей. Для чисел можно стереть эту границу, добавив все возможные пределы к множеству. Такая операция называется пополнением относительно нормирования. Если это p-адическое нормирование, то пределами будут p-адические числа.
Формально они представляют собой последовательности:
Похоже на сумму разрядных слагаемых, записанную справа налево. Над этими числами можно проводить операции сложения и умножения. Это выглядит довольно интересно, потому что производится в столбик, но справа налево.
Боюсь, к этому моменту у вас могло сложиться впечатления, что эти числа были придуманы исключительно для шокирования публики. Спешу вас разуверить. p-адические числа и p-адическая норма открыли совершенно новый взгляд на числа. Они наделили целые числа свойством непрерывности, что уже колоссально, но также нашли применение в решении задач теории чисел и теоретической физике. Для тех кто хочет подробностей, советую послушать лекции Конрада Кейта.
