Просто теорема Менелая / Задание №25 / ОГЭ

Как сказал читатель канала под одной из публикаций: «Теорему Менелая с помощью пропорциональных отрезков можно доказывать семиклассникам».

Утверждение, конечно, спорное и имелись ввиду (смею предположить) уважаемые восьмиклассники. Они бы через пропорциональные отрезки доказали. Но для нас это уже не принципиально, так как товарищи девятиклассники, которые готовятся к сдаче ОГЭ - уж точно бывали и семи- и восьмиклассниками.

Дополнительно ещё, «бонусом», рассмотрим способ через площади (публикация была, кстати, о площадях), который точно можно использовать восьмиклассникам и без доказательства неведомой теоремы.

Приступим?

Задача

Рис. 1. Открытый банк заданий ОГЭ по математике (29FC1C)

Рассуждение

• Биссектриса - это крыса... Делит угол пополам, но это вторая часть, задача повышенной сложности, значит дело скорее в другом свойстве биссектрисы треугольника (пропорциональные отрезки).
• Медиана делит сторону пополам. Можно было сразу вспомнить про свойство пересекающихся медиан (отношение 2 : 1 от вершины), но она у нас только одна.
• А еще они (биссектриса и медиана) перпендикулярны и равны.

Решение

Начнём, как всегда, с рисунка. Тут начать лучше с перпендикулярных биссектрисы и медианы, которые ещё и равны. Так у нас уже будут вершины A и B. Потом попробовать провести сторону BC через точку D так, чтобы она делилась пополам - BD = DC. И уже потом соединить все три вершины. А если ещё немного подумать и вспомнить все рассуждения, то можно нарисовать очень точный рисунок:

Рис. 2. BE - биссектриса; AD - медиана

На рис. 2 видно, что биссектриса BE, а точнее её часть - BH, является одновременно и биссектрисой и высотой в треугольнике ∆BAD (признак равнобедренного треугольника). Отсюда равенства:

BA = BD;

AH = HD.

Рис. 3. ∆BAD - равнобедренный; BA = BD = DC

Рассмотрим треугольник ∆ABC, в котором биссектриса BE делит противолежащую сторону AC на отрезки AE и EC, пропорциональные прилежащим сторонам (свойство биссектрисы треугольника):

AE : EC = AB : CB = 1 : 2.

Из последнего отношения можно сделать вывод, что:

Если AE : EC = 1 : 2, то AE : AC = 1 : 3.

И вот мы подошли к теореме Менелая. Рассмотрим треугольник ∆BEC, в котором точки D и H лежат на сторонах BC и BE соответственно, а точка A - на продолжении стороны CE.

Рис. 4

А по условию AD - медиана, которой принадлежат точки A, H и D. Значит верно и следующее равенство:

Рис. 5. Теорема Менелая

В этом выражении нам известно:

CD : DB = 1 : 1 - т.к. равные отрезки;

AE : AC = 1 : 3 - по следствию из свойства биссектрисы (под рис. 3).

Значит BH : HE = 3 : 1. Вместе они - отрезок BE (равный 24), можно найти BH и BE:

BH = 18;

HE = 6.

Далее по теореме Пифагора сперва в ∆ABH, а потом в ∆AEH находим AB и AE соответственно. И по известным уже отношениям узнаём все стороны треугольника ∆ABC.

AB = 6√13;

BC = 2AB = 12√13;

AE = 6√5;

AC = 3AE = 18√5.

Ответ: 6√13; 12√13; 18√5.

Бонус

Решить можно и через площади. Для этого рассмотрим три равновеликих (равных по площади) треугольника: ∆AEB, ∆BED и ∆DEC.

Рис. 6

Площади первых двух (∆AEB и ∆BED) равны, потому что треугольники равны (по двум сторонам и углу). Площади последних двух (∆BED и ∆DEC) равны - по свойству медианы (делит на два равновеликих). Площадь одного из треугольников можно найти через ∆BAE:

S = 1/2 • BE • AH = 144.

Площадь трёх треугольников будет равняться:

144 • 3 = 432.

Рассмотрим ещё пару равновеликих треугольников:

Рис. 7

Площадь ∆BAD равна половине площади ∆ABC:

S = 1/2 • AD • BH = 216 - отсюда найдём BH, потом HE и далее через теорему Пифагора - все стороны.

Заключение

Для первого способа пригодились следующие знания:

• Признаки равнобедренного треугольника;
• Свойство биссектрисы треугольника;
• Теорема Менелая;
• Теорема Пифагора;

Для второго немного меньше:

• Признаки равнобедренного треугольника;
• Признаки равенство треугольников;
• Формула площади треугольника;
• Теорема Пифагора.

Применение

Как Вам задача? Какой способ лучше? Каким способом решаете Вы?

Ссылка на 10 таких же задач из открытого банка ФИПИ. Пробуйте и экспериментируйте. Удачи!