Противоположные боковые грани правильной четырехугольной пирамиды MABCD с основанием ABCD попарно перпендикулярны. Через середины K и L ребер AB и AD соответственно и точку М проведена плоскость α.
а) Докажите, что сечение пирамиды MABCD плоскостью α является равносторонним треугольником.
б) Найдите расстояние от точки D до плоскости α, если АВ = 9.
Решение:
а) Пусть F - середина CD
Так как противоположные боковые грани правильной четырехугольной пирамиды MABCD перпендикулярны, то MF ⟂ ML
Пирамида MABCD - правильная, значит проекция вершины M находится в центре основания (квадрата ABCD), то есть в точке О
Пусть AB = 2a, тогда AK = AL = a
△ AKL: KL2 = AK2 + AL2 = a2 + a2 = 2a2 → KL = a√2
△ MFL: MO ⟂ FL, MO - медиана, высота и биссектриса в равнобедренном треугольнике
Медиана, проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы. Отсюда получаем , что MO = FO = LO = a
△ MOL: ML2 = MO2 + LO2 = a2 + a2 = 2a2 → ML = a√2
Боковые грани правильной пирамиды - равные равнобедренные треугольники. Так как треугольники равны, то равны и их медианы, то есть MF = ML = MK = a√2
Получаем, что KL = ML = MK = a√2 → △ MKL - равносторонний треугольник → сечение пирамиды MABCD плоскостью α является равносторонним треугольником.
б) Расстояние от точки D до плоскости α является высотой пирамиды MDKL = ρ. Высоту пирамиды мы будем искать из объема пирамиды MDKL.
Рассмотрим пирамиду MABCD:
VMABCD = 1/3 ⋅ SABCD ⋅ h = 1/3 ⋅ AB ⋅ AD ⋅ MO = 1/3 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 4,5 = 243/2
Рассмотрим пирамиду MDKL:
VMDKL = 1/3 ⋅ SDKL ⋅ h
Пирамида MDKL имеет с пирамидой MABCD общую высоту h = MO = 4,5
SDKL = 1/2 ⋅ SDAL (медиана KL делит △ DAL на два равновеликих треугольника ) = 1/2 ⋅ 1/2 ⋅ SFDAL = 1/2 ⋅ 1/2 ⋅ 1/2 ⋅ SABCD = 1/8 ⋅ SABCD = 1/8 ⋅ AB ⋅ AD = 1/8 ⋅ 81 = 81/8 = 10,125
Получаем VMDKL = 1/3 ⋅ SDKL ⋅ h = 1/3 ⋅ 10,125 ⋅ 4,5 = 243/16
Запишем объем пирамиды MDKL через расстояние от точки D до плоскости α:
VMDKL = 1/3 ⋅ SMKL ⋅ ρ
Найдем площадь треугольника MKL:
SMKL = 1/2 ⋅ KL ⋅ KM ⋅ sin60 = 1/2 ⋅ (4,5 √2) ⋅ (4,5 √2) ⋅ ( √3/2) = 10,125√3
Подставим известные значения в формулу VMDKL = 1/3 ⋅ SMKL ⋅ ρ :
243/16 = 1/3 ⋅ 10,125√3 ⋅ ρ
Найдем ρ:
ρ = 1,5 √3
Ответ: б) 1,5√3
