В этой статье я попытаюсь разобраться, почему дети не понимают математику, и что надо сделать для того, чтобы у них исчез страх перед этим удивительно красивым и простым школьным предметом.
Приятного Вам прочтения!
Однажды я задумалась, пытаясь ответить на вопрос: "Почему дети не понимают математику?". И стала наблюдать.
Примеры, которые будут приведены в этой статье - лишь вершина айсберга. Но и этого должно хватить, чтобы проиллюстрировать мои мысли.
1) Недосказанность
1) "Они даже не умеют делить на 2", - сказал кто-то из моих читателей. А знаете, почему? Не все дети понимают, что в основе этой математической операции лежит свойство натуральных чисел делиться на равные части. Вы помните, чтобы о делении, именно, на равные части говорилось в школе? Я не помню (мы учили наизусть таблицу умножения, не задумываясь о "механизме" деления, и никто не подчёркивал, что части должны быть равными). Но я знаю, что если взять в руки карандаши, конфеты, резинки, пуговицы и т.д. и показать ученику "процесс деления", он всё поймёт.
2) Часто решение математических задач опирается на метод, называемый "разложением выражения на множители". Он применяется во многих видах задач: и при упрощении выражений, и когда решаются уравнения, неравенства, их системы. Например, в задании на картинке 1 нужно вынести общий множитель за скобки, то есть разложить выражение на множители.
"Где же тут недосказанность?" - Спросите Вы. Я отвечу, но сначала вдумайтесь в то, что написано: "Вынесите за скобки общий множитель".
Вы поняли, в чём дело? В левых частях тождеств нет никаких скобок! Ребёнок просто не понимает, чего от него хотят. Стоит лишь один раз сказать ему, чтобы он сам нарисовал скобки, как всё становится на свои места. Почти всё.
3) В огромном количестве задач требуется находить общий множитель двух, трёх, четырёх численных и буквенных выражений (как на картинке 1). Но что это такое, иногда забывается. И начинается путаница в голове: то ли это число, на которое умножаются оба заданных числа (слово же "множитель), то ли это общий делитель этих чисел (а это так и есть на самом деле, ведь числа, стоящие справа в скобках, - частное от деления заданного выражения на общий делитель слагаемых). Как же быть? Стоит уточнять и повторять, снова и опять, что число, записанное в привычном для нас виде, может быть представлено как произведение других чисел, каждое из которых называется "множителем" в этом произведении (картинка 3).
4) Известно, что, подразумевая одно, мы можем что-то не договаривать. А если это происходит в процессе обучения, последствия могут быть катастрофическими. Например, мы говорим: "синус", "косинус", "логарифм", "корень" и т.д., а у ребёнка в сознании формируются образы этих слов. Без чего бы то ни было рядом с ними. И как потом объяснить, что не существует чисел "sin", "cos", "log", а "корень" - это не просто "корень", а "квадратный (кубический и т.д.) корень из некоторого числа"? Не лучше ли делать всё правильно сначала, а не потом исправлять свои же ошибки (картинка 4).
5) Пятый пример причины "недосказанность" - самый "наивный", но именно он показывает, что для того, чтобы тебя понимали в математике, следует говорить, исключая все неопределённости. Как бы Вы ответили на вопрос: "Какой геометрический объект задаёт уравнение на картинке 5?"
Однозначного ответа на него нет. Если речь идёт о прямой линии, то это - точка, если о плоскости, то это - прямая линия, а если о трёхмерном пространстве, то это - плоскость.
6) От сказанного вслух можно отказаться, но от написанного - нет.
Ученик не должен угадывать, о какой прогрессии (с конечным или бесконечным количеством членов идёт речь).
Следующий пример, взятый из книги (см. картинку 7 с прикреплёнными к ней фотографиями) тоже иллюстрирует недосказанность. Недосказанное условие в задаче № 313 (не указаны область определения и множество значений функции) не позволяет дать однозначный ответ.
2) Фантазии ребёнка
Они появляются тогда, когда знаний слишком мало. Но ученик не хочет сдаваться, что похвально. И тогда он включает воображение и совершает ошибку. Где чаще всего можно неверно нафантазировать? В действиях со степенями, с квадратными корнями, в тригонометрии, особенно в формулах понижения степени синуса и косинуса некоторого числа. На картинке 8 записаны равенства. Все они не верные. Попробуйте найти ошибки.
3) "Мелочи", создающие огромные проблемы
Когда начинают появляться задачи, содержащие выражения с буквами, ученики, привыкшие к числовым выражениям, теряются. Они никак не могут понять (причём, длительное время), что буквы обозначают числа. И не понимают смысла многих заданий. Например, если попросить сказать, что получится, когда в выражение 2х вместо х подставить 3, то можно получить интересный ответ: "23". Правильный ответ: 6. Да, в учебнике обязательно сказано, что если число и буква написаны рядом, то такая запись означает "умножение" в то время, когда смешанное число, записанное тоже без знака, подразумевает сложение целой и дробной частей (см. картинку 9). Но если не напоминать об этом, ученик так и будет приписывать к числу 2 число 3 и получать 23.
Такие "мелочи", не прочувствованные учеником, тормозят весь процесс обучения.
На картинке 9 разность дроби и единицы не записана в скобках, а ученик, не обращая внимания на это, пытается вычесть из дроби 1. Мелочь? Нет, непонимание последовательности выполнения математических операций. И ещё. В первом же действии он сам не записал сумму х+3 в скобках и ошибся в знаке числа 3. Мелочь? А итог не тот, который придумал автор.
4) Герменевтика
Складывается ощущение, что школа, включив в программу обучения детей предмет "Математика", поставила своей целью подготовить специалистов в области расшифровки и толкования текстов. Да что там текстов! Чтобы постичь смысл слов, произнесённых учителем на уроке, надо очень постараться.
"Делить уголком" - странное словосочетание, да? Нет, оно не означает: взять угольник и начать что-то там разделять. Так мы говорим, когда делим друг на друга числа или многочлены. Другой вариант этого же действия - "делить столбиком".
"Выколотая точка" - ещё одно понятие, которое сложно объяснить. Что значит "выколотая"? Напоминает фильм ужасов, правда?
"Двигаться по пропорции". Об этом я даже написала статью и сама нарисовала картинку. Теперь мои ученики смело рисуют лесенку (картинка 11), представляете? Лесенку, а не стрелочку или чёрточку, чтобы показать, как может меняться местоположение чисел в равенстве двух отношении.
"Правило лошади". Об этом тоже мною написана статья. Как, скажите, это милое животное смогло повлиять на кого-то, что даже одно из мнемонических правил назвали в его честь?
"Сократить дробь" - это, вообще, за гранью понимания ребёнка. Потому что нет такой математической операции. Это тоже мнемоническое правило. А всего-то, что требуется, - это разделить одновременно и числитель и знаменатель на их общий множитель, не равный нулю. Но мы же теперь понимаем, что "общий множитель" - это дремучая дремучесть (см. выше). Представляете, что творится в голове ребёнка? Да после таких расшифровок всем ученикам надо выставлять "отлично".
"Сдвинуть запятую влево или вправо" - то ещё действие! И снова: это не математическая операция. Наша задача, как учителей, должна заключаться в том, чтобы ученики понимали смысл умножения и деления чисел на 10, 100 и т.д., а не двигали одновременно запятые в числите и знаменателе, подсчитывая количества знаков после запятых. Интересно, кто придумал такое?
"Числа и точки". Вот это особенно запутанно и не понятно для ребёнка. Знаете, почему? Ученик никак не может понять, чего от него хотят, когда слышит фразу: "Найди значение функции в точке 2". А учитель в это время выводит на доске "f(2)". То есть, педагог произнёс "точка", а написал число? Такое недопонимание происходит потому, что понятие "взаимно-однозначного соответствия" изучается уже после того, как "проходится" понятие "числовая прямая". И именно благодаря понятию "взаимно-однозначного соответствия" между точками на числовой прямой (геометрическими фигурами) и числами, которые им приписываются, мы не различаем эти объекты.
И, наконец, ещё одно понятие, которое стало даже для меня открытием после более чем 30-летнего преподавания математики (картинка 12). Книга та же, что и на картинке 7. Задача 317 (на второй фотографии, привязанной к картинке 7). Посмотрите, какое решение приводят авторы пособия (картинка 12).
Это просто супер! "Навивающуюся". Это как? Интересно, понятие "навивающаяся линия" запатентовано?
5) Подмена понятий
В этой части моей статьи речь пойдёт о геометрии. Весь интернет "утонул" в лени или некомпетентности людей, придумывающих формулировки заданий, в которых одни понятия подменяются другими. Приведу несколько примеров. И пока Вы будете их рассматривать, попрошу Вас подумать о том, что в этих формулировках "не так" (картинка 13).
Первая фотография. 1) Высота параллелограмма не может быть равна числу. 2) Отрезки не могут быть равны числам. 3) Зачем искать высоту параллелограмма, если она уже нарисована? 3 неточности (ошибки, глупости, некомпетентности - как хотите).
Вторая фотография. 1) Стороны не могут быть равны числам. 2) Медиана не может быть равна числу. 3) Зачем искать третью сторону, если она изображена на рисунке? 3 неточности (ошибки, глупости, некомпетентности - как хотите).
Третья фотография. Зачем искать углы трапеции, если они изображены на рисунке?
Четвёртая фотография. Зачем искать радиус окружности, если он нарисован?
Однажды я консультировала ученика. Разбирая задачу с формулировкой, похожей на одну из приведённых выше, я указала, что решение задачи по отысканию высоты треугольника сведётся к обоснованию положения её на рисунке. И это всё. Конечно, включив функцию "толкователя текстов", мы вычислили длину этого геометрического объекта, но мои слова запали ему в душу. Как же он удивился на следующий день, когда его одноклассница привела точно такое же решение, как и я, когда сказала, что надо сделать только рисунок. И ей выставили "неудовлетворительно". Мальчик не растерялся и предложил девочке обратиться в предметную комиссию с разрешением этой ситуации. Ведь она всё сделала верно. Рассмотрев вопрос, комиссия пришла к выводу, что отметка "неудовлетворительно" была выставлена необоснованно. И девочка получила "5". Почему?
Во всех приведённых примерах этого раздела были подменены понятия "множества" и "меры множества". Геометрические фигуры, о которых шла речь, - суть множества точек на плоскости, удовлетворяющие определённым свойствам. А длины, величины углов - их меры. Это - абсолютно разные понятия. Как же надо было правильно задавать вопросы и формулировать условия? Всего лишь добавлением слов "длина" и "величина угла": "длина стороны", "длина высоты", "длина медианы", "длина радиуса", "величина угла".
6) Неграмотность наставников
Искренне прошу прощения у Вас, мои читатели, если Вам покажется, что я неуважительно отношусь к Вам. Ни в коем случае. Но я вынуждена проиллюстрировать заявленное в этом разделе моей статьи утверждение о том, что, к сожалению, неграмотные "специалисты" в области математики есть. Снова обратимся к интернету. На следующей картинке (картинка 14) показаны выдержки из статей одного блогера, который иллюстрирует в них свою неграмотность, вводя в заблуждение читателей канала.
Первая фотография. Человек не понимает, что такое "функция". Записанный в фиолетовой рамочке квадратный трёхчлен не является функцией. Далее на этой же фотографии видим, что понятие "уравнение" тоже сложно для автора статьи.
Вторая фотография. Сложить второе уравнение с третьим нельзя. Такой математической операции не существует.
Третья фотография. "... разделить произведение внутри логарифма на отдельные части". У меня просто начинают заканчиваться слова. Что такое "нутро логарифма"? Что такое "части"? Формула без скобок, без модулей. Если бы мой ученик написал такой текст к такой формуле, я поставила бы "1"!
Четвёртая фотография. "Формула вынесения степени". Вот снова: автор статей на "математические" темы вообще не понимает, что такое "степень числа". Модуль снова не пишется, кажется, он "не нравится".
Вы думаете это - единичный пример? Следующие картинки взяты из интернета, точнее, их источник: Яндекс, Картинки.
Первая фотография блока "Картинка 15". Из прямоугольника невозможно вырезать прямоугольник. Я объяснила это в моей статье. А вот теперь "шедевр": скажите, пожалуйста, как может множество точек на плоскости, образующих прямую линию, разделить число?
Вторая фотография. Снова та же глупость.
Третья фотография. Обратите внимание: совершенно нелепый текст задачи отмечен фразой "ответ дан - проверенный экспертом". Лично я не стала бы "заходить" на этот сайт. Тем не менее, привожу ссылку на изречения "эксперта", который даже не заметил подвоха в задаче.
Это были "неофициальные" источники. А теперь "официальный".
В тексте, выделенном цветом, говорится: "При решении неравенств используются следующие свойства: 1) Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство..."
Давайте разберёмся. 1) Во-первых, не понятно, о свойствах какого математического объекта говорится в этом тексте. 2) Снова герменевтика? Что значит "перенести слагаемые"? Да нет же и такой математической операции! 3) Не может это мнемоническое правило быть свойством чего-то. Неужели авторы официального учебника не знакомы со свойствами, например, числовых неравенств?
Как можно учить не точно?
7) Изменение условий современно мира
В этом разделе я приведу всего 2 факта.
1) Исчезли чашечные весы. Как следствие, исчезло понимание "уравнивания". Взять, например, "перенос слагаемых". Мы же ничего не переносим, решая уравнения и неравенства. А мы прибавляем или вычитаем одно и то же число или одно и то же выражение к обеим частям, то есть "уравниваем" их.
2) Редко, где ещё используют часы со стрелками. Да, впрочем, и они имеют 12 делений. Не весело, когда ученик говорит, что в сутках 12 часов, а не 24.
8) Досада от действий учителя
Это всем понятный пункт. В погоне за успеваемостью учителя могут создавать стресс, упрекая учеников в нежелании хорошо учиться. Оценку этому Вы можете дать сами.
Но вот, что совершенно не объяснимо: как можно выдавать пособия для подготовки к экзаменам, купленные на деньги родителей, без ответов к заданиям, вырывая листы? В чём смысл обучения, если ученик не может проконтролировать свои действия?
9) Бессмысленность обозначений
Последнее. Не могу пройти мимо бессмысленных обозначений, применяемых повсеместно при решении квадратных и дробно-рациональных неравенств. Я говорю о "кружевах" над числовой прямой (картинка 17).
Как могла такая замечательная идея "кривой знаков" трансформироваться в бессмысленные кружева? Зачем их рисуют (причём не правильно), ведь нули функции и так делят числовую прямую на промежутки? "Кривая знаков" вводилась тогда, когда хотели указать "положение" графика введённой функции относительно оси Ох. Но если "кружева" даже на промежутках с отрицательными ординатами графика функции расположены над осью абсцисс, а не под нею, то какую же смысловую нагрузку несут они?
Пытаясь научить математике детей, попробуйте вспомнить, какими Вы были в их возрасте, что было Вам сложно. И если какие-то "вещи" Вам кажутся слишком простыми, а ученик просит их объяснить ещё раз, сдержите эмоции, вздохните и начните сначала.
Спасибо тем, кто дочитал до конца. Думаю, Вы - именно те, кому не безразлично, какое именно образование получат наши дети или внуки.
Уважайте себя. С уважением, автор.
