Для решения задач повышенной сложности часто требуются знания решений некоторых вспомогательных задач. Эти задачи, как правило, в учебнике Л.С. Атанасяна не входят в основной параграф и идут как разобранные (решенные) номера.
В этой статье разберем одну такую задачу, а в следующий раз рассмотрим ее применение для решения задания повышенной сложности.
ЗАДАЧА:
В треугольнике со сторонами BC=a, CA=b, AB=c найдите расстояния от вершин треугольника до точек касания вписанной в него окружности.
Условие можно кратко записать так:
BC=a, CA=b, AB=c, окр О вписана в △АВС, K,L,M - точки касания.
Найти: СК, АК, CL,BL,CM,BM.
Решение:
Т.к. K,L,M - точки касания, то по свойству отрезков касательных AK=AL, BL=BM, CK=CM.
Тогда
ВС=СМ+MB
или
ВС=СK+BL.
C другой стороны СК=AC-AK и BL=AB-AL.
ВС=(AC-AK)+(AB-AL)=AC+AB-AK-AL.
Учтем, что AK=AL.
BC=AC+AB-2AK
AK=(AC+AB-BC)/2
AK=(b+c-a)/2
Немного доработав это выражение, получим универсальную формулу:
AK=AL=(b+c+a-2a)/2
Значит отрезок АК= AL=p-a, где р- полупериметр.
Аналогично получается
BL=BM=p-b
CK=CM=p-c
Словами это можно сформулировать так:
Расстояние от вершины до точки касания вписанной в треугольник окружности равно разности полупериметра и длины противолежащей стороны.
Если вы знаете того, кто готовится к ОГЭ не забудьте поделиться с ним этой информацией. Всегда пригодится.
