Сила как понятие в теории относительности используется редко. В Специальной только инерциальные системы. Ускорения там, конечно, можно рассматривать, но не все задачи решаются, а те, что решаются, не всегда удобно решать. В Общей же нет необходимости: задачи космического (а то и космологического) масштаба не нуждаются в силах, кроме гравитационной, а она вовсе и не сила.

Еще одно соображение: в относительности запрещено дальнодействие, то выводит из рассмотрения много явлений. Возможны лишь взаимодействия здесь и сейчас. Например, обмен импульсом между телами. А такие задачи решаются и без использования понятия силы. Например, задачу Мещерского (Циолковского) о ракетном движении в релятивистском случае можно решать и так.

Тем не менее, силу ввести можно. И вот тут начинается интересное взаимодействие, в котором сверху то физика, то математика.

Все согласны, что в физике первична сила, а ускорение ею порождается, и как именно порождается — описывает второй закон Ньютона. Что такое сила — не суть важно, "причина ускорений".

Математически же сила есть производная импульса, и что первично — математику все равно. Одно слева, другое справа в уравнении, и все. В классике на этом все и заканчивается.

А в теории относительности все только начинается. Силу надо как-то определить, а как, если дальнодействия нет? Только одним способом: как производную импульса по времени. Правда, тут возникают варианты.

Для простоты измеряем длину в световых секундах, так что скорость света равна единице.

Хорошо, возьмем пока трехмерный вектор импульса, γ(v)mv, где γ — множитель Лоренца (единица делить на корень из 1-v²), v — величина скорости, v — вектор скорости. Вычислим производную по времени t в данной системе отсчета. И вот тут возникает сюрприз!

Масса покоя от времени не зависит, а вот множитель Лоренца — зависит от скорости, которая зависит от времени. В итоге получаем ДВА слагаемых, одно почти классическое γmv', где v' — вектор ускорения. А второе равно произведению производной Лоренцева множителя γ по времени на импульс mv. Оно равно (γ³vv')mv, то есть содержит скалярное произведение скорости на ускорение.

Получается, что наша математическая сила, производная импульса по времени, есть вектор, равный сумме двух: один направлен туда, куда ускорение (как в классике), а второй направлен туда, куда скорость!

Но ведь сила у нас первична, это неведомо что, что может создавать ускорения, изменяя импульс и задаваясь формулой, которую мы вывели. Получается три варианта:

Сила направлена перпендикулярно скорости. Тогда ускорение направлено туда же, скалярное произведение vv' равно нулю, второго слагаемого нет, все почти как в классике. Сила и ускорение направлены одинаково, под прямым углом к скорости. Сила выражается через ускорение формулой f=γmv', что можно назвать вторым законом Ньютона, а γm играет роль массы (по устаревшей терминологии это релятивистская масса или продольная масса).
Сила направлена вдоль скорости или противоположно ей. Тогда оба слагаемых пропорциональны скорости, то есть сила направлена вдоль скорости же. После небольших упрощений для силы получается выражение f=γ³mv'. Это тоже второй закон Ньютона — для этого случая. Величину γ³m раньше называли поперечной массой. Кстати, при релятивистских скоростях куб-то растет быстро и эффект роста "релятивистской массы" будет заметнее в этом случае. Тяжело тормозить со скорости 99% от с, а?
Сила направлена под непрямым углом к скорости. Тогда оба слагаемых не нули и не параллельны, то есть вектор ускорения направлен не туда, куда сила! И не туда, куда скорость! Одно хорошо: все три в одной плоскости.. Вот формула: f=γmv'+(γ³vv')mv.
Получается, что вы включаете двигатели своего звездолета, пытаясь и погасить скорость, и изменить ее направление. А ускорение внезапно направлено не туда, куда сила, то есть, с позиции классики, возникает лишняя сила, сносящая звездолет с курса.
Можно провести упрощение из пункта 2 и получить формулу f=γ³ma₌+γma₊, где a₌ означает компоненту ускорения вдоль скорости, а a₊ — перпендикулярную к скорости компоненту.

Интересный вывод из первичности силы. Сила дана, а ускорение ею порождается. Но тогда, при высокой скорости, γ³ намного больше γ, и второе слагаемое (в формуле f=γmv' +(γ³vv')mv) может стать слишком большим: больше, чем компонента силы в этом направлении. Уменьшить ее может скалярное произведение, то есть ускорение будет почти перпендикулярно скорости, если она близка к скорости света. К тому же ускорение будет маленьким, потому что γ тоже велико. В итоге, действовать силой под углом к скорости почти бессмысленно, если скорость близка к скорости света. Разгоняться бесполезно. Тормозить неэффективно. Лучше маневрировать: самое эффективное — это силу направлять под прямым углом к скорости!

Давайте выразим ускорение через силу в общем случае, это любопытно. У нас есть компоненты силы вдоль и поперек скорости: f₌ = γ³ma₌, f₊ = γma₊. Выразим соответствующие компоненты ускорений и сложим их векторно:

γma = ma₌+ma₊ = f₌/γ² + f₊.

Вспомним, что 1/γ²=1-v², причем скорость света у нас единица. Тогда можно упростить с учетом f₌ + f₊ = f:

γma = ma₌+ma₊ = f - f₌v².

Хорошо бы избавиться от параллельной компоненты силы, чтобы вектор ускорения был выражен через вектор силы (и скорость, что поделать), и все. Это можно: f₌=(fv)v/v². Проекция силы на направление скорости есть скалярное произведение силы на единичный вектор, параллельный скорости v/v. Эту проекцию надо умножить на этот единичный вектор направления скорости. В итоге получаем γma = f - (fv)v.

Если взять интеграл от силы по трехмерной траектории, получится изменение релятивистской энергии. Все правильно, так и должно быть: интеграл от силы по пути — это же работа. Она и должна изменять полную энергию тела.

Теперь второй подход, четырехмерный. Вместо вектора импульса удобнее рассматривать 4-вектор энергии-импульса. 4-силу определим как производную этого вектора вдоль 4-траектории в пространстве-времени (по собственному времени τ). Можно взять производную по координатному времени t и потом умножить на производную t по собственному времени τ, которая равна γ.

Это, кстати, еще раз объясняет, почему на Земле прошло три тыщи лет, пока космический пират летал на релятивистской скорости за пивом. По его собственному времени прошло три дня, но γ, которое единица делить на корень из 1-v² может быть очень большим...

4-вектор силы содержит одну компоненту, отвечающую времени, и три пространственные. Пространственные совпадают с вектором силы, который мы только что обсудили, умноженным на γ. Временная компонента оказывается равна производной полной энергии по τ, тоже с множителем γ. В итоге интеграл от такой силы по 4-траектории равен нулю. В самом деле, интеграл по траектории — это интеграл от 4-вектора силы, умноженного скалярно на 4-вектор скорости (касательный к траектории). Вектор силы есть γ(E', p') или γ(E', f), вектор скорости γ(1,v), скалярное произведение в пространстве Минковского:
γ²E' - γ²fv = γ²(E'-fx').
Умножим на dt: γ²(dE- fdx). Сила на перемещение есть работа, а она равна изменению энергии dE. В итоге имеем нуль.

Имеет место четырехмерный второй закон Ньютона: F=mA, где A — это 4-ускорение. Оно равно производной по собственному времени от 4-скорости (в ОТО производная тензорная, абсолютная), а также является вектором кривизны 4-траектории частицы. Все правильно: кривизна и есть ускорение, а в искривленном пространстве все кривые с ненулевой кривизной, так что до ОТО шаг шагнуть...

Так что со вторым законом Ньютона в релятивистике все в порядке. Он работает по определению для 3-силы и справедлив для 4-силы. И даже в ОТО, где гравитация не сила, ее можно как таковую описать: кривизна-то траектории никуда не делась, а это ускорение и есть. Правда, вдоль геодезической абсолютная производная равна нулю (свободное падение инерциально); но зато все, что не падает свободно, очень даже ускоряется, так как его 4-траектория уже отнюдь не геодезическая...

Навигатор по каналу

Оглавление рубрики