Когда ученики начинают изучать методы решения задач с модулями, то рано или поздно они встречаются с так называемыми схемами. Для неподготовленного ученика они выглядят очень страшно, и кажется, что простому смертному их в принципе не понять. Зная мощь этого метода, но не понимая происхождения этих формул, некоторые школьники от отчаяния пытаются их зазубрить.
Однако, такой подход очень вреден.
В данной статье мы попробуем на простых примерах показать, что схемы (они же равносильные преобразования) — это довольно простая вещь, если попытаться разобраться с ними, начиная с азов. Тема с модулями для этого как нельзя кстати, ведь именно в ней нам впервые предстоит так плотно поработать со схемами.
Чтобы понять указанные ниже выкладки желательно предварительно знать, что такое совокупность и система, чем они отличаются и в целом что такое множество решений.
Начнём с самых простых заданий и постепенно перейдём к более общим конструкциям в виде схем.
Схема 1
Итак, давайте решим вот такое элементарное уравнение:
Корни его очевидны. Однако, чтобы лучше прочувствовать решение, переформулируем его так: модуль каких чисел равен 5? Или даже лучше так: чему равно число, модуль которого равен 5?
Очевидно, что это 5 и -5.
Теперь слегка усложним задачу. Решим уравнение:
Тоже переформулируем его так: чему равно выражение 2x-1, если его модуль равен 5? Очевидно, что оно равно -5 или 5. В итоге у нас уравнение распадается на два независимых случая, которые будут давать отдельные решения: 2x-1=5 и 2x-1=-5.
Так как каждый такой случай независим и вносит свой вклад в решение, то мы эти два уравнения объединяем в совокупность.
Такой переход от уравнения к некой равносильной системе или совокупности и называется схемой.
В общем виде она может быть записана в следующем виде. Возьмём некоторое положительное число а. Тогда
Это первая, самая простая схема. Очевидно, что при а=0 мы приравниваем к нулю подмодульное выражение, а при отрицательном а у нас просто нет корней (модуль всегда неотрицательное число).
Когда вы работаете со схемами, удобно писать функции не в виде f(x) и g(x), а ограничиться сокращенной записью f и g. Очевидно, что это функции от x, поэтому громоздкие скобки можно убирать. В итоге некоторые схемы будут выглядеть гораздо приятнее.
Например, наша первая схема будет выглядеть вот так:
Схема 2
Теперь усложним задачу и сделаем так, чтобы справа у нас было не число, а какая-то функция.
Пусть, например, мы решаем вот такое уравнение:
Если бы мы знали, что справа стоит положительное число, никаких проблем бы не было. Мы просто бы расписали решение по схеме выше. Но у нас справа функция, которая теоретически может принимать и отрицательные значения. А такие значения справа запрещены, так как это приравнено к модулю, который неотрицателен. Так давайте оставим только разрешенные значения для этой функции. То есть 2x-1 может быть равна 3x или -3x, но с одновременным условием, что правая часть 3x неотрицательна.
В виде схемы это может быть записано так:
Таким образом для общего уравнения |f(x)|=g(x) мы получаем следующую схему:
Схема 3
Далее рассмотрим равенство |а|=|b|.
По сути нас здесь спрашивают следующее: каковы условия на а и b, чтобы у них были одинаковые модули? Первый ответ очевиден: они должны быть равны, то есть а=b. Немного подумав, мы получим и второй ответ: это могут быть противоположные числа, то есть а=-b
В более общем случае, уже для функций, мы получаем вот такую схему:
Схема 4
Теперь обратимся к более сложным схемам — для неравенств с модулями.
Сразу оговоримся, что для удобства мы будем использовать только строгие неравенства. Для нестрогих неравенств схемы будут такими же, только уже с заменой строгих знаков на нестрогие.
Итак, рассмотрим вот такое простое неравенство:
Переформулируем эту задачу так: какие числа по модулю меньше 7?
Ученики часто ошибаются, думая, что подходят любые числа меньшие 7. Это не верно. Например, число -100 является контрпримером (оно меньше 7, но по модулю больше 7).
Слегка подумав, можно прийти к ответу “x находится между минус семёркой и семёркой”. Это удобно записать в виде двойного неравенства: -7<x<7.
Для наглядности можно изобразить решение на координатной прямой:
Двойное неравенство и чертёж удобны для понимания, но для решения сложных неравенств они не подойдут, поэтому нам нужно расписать это неравенство в виде схемы.
Чтобы убедиться в этом, что она работает, нужно нарисовать две координатные оси и соответственно два решения. Так как у нас неравенства объединены в систему, нас интересуют общие точки. То есть указываем пересечение этих множеств.
Из подобных рассуждений можно получить и схему в общем виде. Для некоторого а>0 получаем:
А как быть, если в правой части неравенства вместо фиксированного положительного числа а будет стоять некоторая функция?
На самом деле в таком случае схема сохранит свой вид:
Объяснение корректности замены в схеме числа а на функцию g(х) довольно громоздко, поэтому оставим это на самостоятельное обдумывание. В реальных задачах обычно достаточно запомнить естественную конструкцию
а потом при необходимости приходить к системе.
Схема 4
Теперь рассмотрим неравенство
Ни в коем случае нельзя просто поменять знаки в схеме для |x|<7 и на этом успокоиться! Мы должны снова аккуратно заново её вывести.
Переформулируем задание: найти все такие числа, которые по модулю больше 7. Очевидно, что это или числа, которые просто больше 7, или числа, которые меньше -7.
Данный факт можно записать как следующую совокупность:
Она даёт нам две независимые (!) порции решений.
Обобщая рассуждения для неравенства |f(x)|>g(x) получаем следующие равносильные преобразования.
Как видите, схема всё-таки отличается от предыдущего случая для неравенства |f(x)|<g(x). Однако, так же, как и в предыдущем варианте, корректно переходить от фиксированного числа слева к функции без изменения схемы.
В заключении обсудим то, как запоминать (а точнее, вспоминать) эти схемы. Небольшой секрет: преподаватели чаще всего эти схемы не помнят и для конкретной задачи в реальной ситуации просто быстро выводят нужное преобразование.
Поэтому ученики, которые пытаются вспомнить их, размышляя “ой, я не помню: если знак “меньше”, то там совокупность или система?” идут по ошибочной и опасной дороге. Это не математика. Ваша задача научиться понимать, что стоит за всеми этими схемами и уметь почти мгновенно их выводить. Если вы осознали все выкладки, которые рассмотрены выше, вывод формул займёт 3-5 секунд.
Когда появится понимание, как построены эти схемы, в некоторых случаях даже не будет необходимости их полностью выписывать.
Например, для задачи |2x-1|<7 можно просто расписать решение в виде двойного неравенства:
То есть иногда хватает и простых рассуждений. Однако, в случае функции в правой части неравенства, таких рассуждений будет недостаточно.
