Основание пирамиды SABC - равносторонний треугольник АВС. Боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания, точки M и N -середины рёбер ВС и АВ соответственно, причём SN = AM.
а) Докажите, что угол между прямыми АМ и SN равен 60°.
б) Найдите расстояние между этими прямыми, если ВС = 3√2.
Решение:
а) Угол между скрещивающимися прямыми - угол между параллельными им прямыми, лежащими в одной плоскости.
Проведём через точку N прямую KF || AM.
Пусть α = ∠ SNF, тогда угол между прямыми AM и SN = ∠ (AM; CM) = α
Опустим из точки А перпендикуляр на прямую FK
SA⟂(ABC), SD - наклонная, AD⟂FK, тогда SD⟂FK (по теореме о трёх перпендикулярах)
△ABM: NK || AM, AN = NB, тогда NK - средняя линия → NK = AM/2 = SN/2 → BK = KM = BM/2 = BC/4 → BC = AC = AB = 4BK
△ABC: AM - медиана, высота и биссектриса → △ABM - прямоугольный
Из вершины прямого угла M проведена медиана NM, тогда AN = NM = NB → △ADN = △NKB (по гипотенузе и острому углу, т.к. ∠AND = ∠ KNB как вертикальные) → DN = NK
△ABM: AM² = AB² - BM² = 16BK² - 4BK² = 12BK² → AM = SN = 2√3BK → NK = AM/2 = √3BK = DN
△SDN: cosα = DN/SN = (√3BK)/(2√3BK) = 1/2 → α = 60°
б) Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.
Прямая SN принадлежит плоскости (SDN).
Опустим из точки А перпендикуляр AL на прямую SD. Тогда AL - расстояние между скрещивающимися прямыми AM и SN.
ADKM - прямоугольник, тогда AD = KM = BC/4 = (3√2)/4
△SAN: AS² = SN² - AN² = 12BK² - 4BK² = 8BK² → AS = 2√2BK = 2√2·(BC/4) = 2√2·(3√2/4) = 3
△SAD: SD² = AS² + AD² = 9 + 9/8 = 81/8 → SD = (9√2)/4
Известно, что AD·AS = AL·SD → AL = (AD·AS)/SD → AL = 1
Ответ: б) 1
