Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу рассказать Вам об очередном математическом парадоксе, связанном с бесконечностью. Я уже рассказывал про парадокс бесконечного отеля, парадокс Банаха-Тарского и т.д. В этой статье покорять бесконечность отправим муравья обыкновенного, поставив его, однако, в особые условия. Первое из них - он должен жить вечно. Об остальных условиях - через пару секунд. Поехали!
Формулировка
"Муравей начинает ползти по натянутой резиновой веревке длиной 1 км со скоростью 1 см в секунду (относительно резины, по которой он ползет). В то же время веревка начинает равномерно растягиваться с постоянной скоростью 1 км в секунду, так что через 1 секунду она становится длиной 2 км, через 2 секунды-длиной 3 км и т. д. Доберется ли муравей когда-нибудь до конца веревки?"
Кажется очевидным, что нашему муравью никогда не добраться до края, но это не так. Не верите? Тогда покажу простое решение!
Плясать будем от величины, равной доле пройденного муравьем расстояния.
У этой задачи есть и другие решения родом из математического анализа, но данный подход мне нравится больше всего
Омега - это доля от общего расстояния, пройденного трудолюбивым муравьем. Попытавшись вычислить сумму этих долей, получим очень примечательный гармонический ряд. Его особенность в том, что он расходящийся, т.е. возрастает бесконечно. Уже сейчас можно понять, что путешествие муравья закончится успехом. Осталось понять когда?
К счастью, математики прошлого научились приближенно находить сумму гармонического ряда. Как оказалось, она примерно равна логарифму от количество членов суммы плюс небольшая поправка, называемая постоянной Эйлера-Максерони. Ей, учитывая масштабы чисел, можно пренебречь. Считаем:
Таким образом, время, за которое муравей достигнет конца веревки настолько большое, что возраст Вселенной по сравнению с ним абсолютно ничтожен!
Для небольших расстояний очень подойдет вот такая визуализация:
Оказывается, что, если веревка растягивается с постоянной скоростью, муравей всегда придет к успеху, двигаясь вообще с любой отличной от нуля скоростью. Спасибо за внимание! Дорогу осилит идущий!
