Оригаматика

Как складывать бумажный лист, вдвое все прекрасно знают. А как сложить его втрое, впятеро, всемеро?..

Конечно, такое разделение всегда можно сделать с помощью линейки. Этот вариант у нас есть всегда. Но можно ли поделить лист на несколько равных частей, имея только сам бумажный лист и ничего более?

Искусство складывания бумаги, известное всему миру по японскому имени оригами, оказалось достаточно действенным инструментом в геометрии. Исследования складывания бумажных листов или лент помогли разобраться с несколькими классическими проблемами евклидовой геометрии, такими, например, как построение правильных многоугольников или трисекцией угла. А смятая бумага оказалась ключом к ряду материаловедческих и инженерных задач. Об этом я расскажу позже, а сейчас, для разогрева, я хочу показать два простых примера, не выходящих за пределы классической геометрии, но касающихся складывания бумаги.

Итак, давайте выясним, как используя только приёмы оригами, не привлекая измерительных приборов, циркулей, линеек или карандаша, разделить лист на N равных частей.

Пополам лист сложить очень легко. Также не составит труда сложить его вчетверо и, вообще, для N, которое является степенью двойки.

Олнако существует два достаточно простых способа складывания листа, разделяющего его на любое заданное число равных частей. Один из них универсальный, а другой работает только с листами квадратной формы.

Способ первый

Продемонстрирую его на примере деления листа на три равные части.

Делаем загиб посередине стороны листа.

Доказательство здесь можно провести, нарисовав всего две дополнительные линии и дважды применив теорему Фалеса. Такой пример отлично подходит для закрепления этой полезной теоремы на уроке или на занятии математического кружка.

Таким образом, мы получаем общий метод:

Легко построить загибы на 1/2, 1/4, 1/8 и с их помощью разделить лист на три, пять и девять частей. Деление на 7 частей можно провести, построив загиб на 1/6 части стороны листа.

Способ второй

Этот способ работает только с квадратными листами бумаги, но он тоже универсальный:

Делаем загиб на середине стороны листа.

Применять такой метод можно и не зная математики, а доказательство того, что он работает, потребует немножечко геометрического подобия, теоремы Пифагора и незамысловатой алгебры.

Деление листа на три части лежит в основе метода трисекции произвольного угла средствами оригами, недоступной классическим геометрическим методам: