Давайте обсудим сложный вопрос: создает ли гравитацию энергия быстро летящего тела. Тело в покое с массой m обладает энергией m (скорость света c, как всегда, принимаем равной 1, поэтому mc²=m). Если же тело движется (относительно какой-то системы отсчета) со скоростью v, то энергия равна γ(v)m, где γ²(v)(1-v²)=1 — множитель Лоренца. Раскладывая эту энергию по степеням v², мы получим в первом приближении m+mv²/₂, то есть энергию покоя и обычную кинетическую энергию. Но это только если скорость v мала (по сравнению со скоростью света). Если скорость велика, то и энергия стремится к бесконечности.
А любая энергия создает гравитацию. В самом деле, как мы уже обсуждали, пара летящих навстречу тел обладает — как система — массой, которая может значительно превосходить сумму масс тел. Более того, масса сферы зависит от энергии внутри сферы, в том числе и кинетической. Пусть, скажем, сфера наполнена шариками, которые очень быстро летают внутри во всех возможных направлениях. Их импульс в сумме равен нулю, а энергия равна энергии одного шарика, умноженной на их количество. Квадрат массы системы равен квадрату энергии минус квадрат импульса; в итоге масса такой сферы равна энергии шариков.
А сфера такая (шар, если точнее) создает гравитацию по формулам Шварцшильда, и нам неинтересна природа ее массы. Конечно, если энергия распределена внутри сферы симметрично, но это уже нюансы (если шариков много и они летают во всех мыслимых направлениях, как молекулы в газе).
То есть, переведя энергию из любой формы в кинетическую, но так, чтобы шарики с этой энергией остались внутри некоторой оболочки, мы массу этой оболочки никак не изменим. Следовательно, кинетическая энергия создает гравитацию.
У меня была заметка о том, почему быстролетящий объект не становится черной дырой. Там я правильно ссылаюсь на общую ковариантность: то, что не черная дыра в одной системе отсчета, не она и в любой другой. Но вот утверждение, что быстро летящая рельса никак не влияет на движение астероидов — было ошибочно. Я его исправил.
Сейчас всё объясню как надо.
Для летящего шарика можно написать тензор энергии-импульса. У него будет несколько ненулевых компонент: энергия, импульс и еще один диагональный компонент. См. заметку о гравитации света: тензор для летящего с почти световой скоростью шарика очень похож.
Этот же тензор можно получить по обычным тензорным правилам, записав тензор (матрицу) в подвижной системе отсчета. В неподвижной же (относительно шарика) только плотность энергии отлична от нуля и равна плотности шарика (в пределах самого шарика).
Тензорные правила, если кто не очень в курсе, это некоторое развитие очень наглядных соображений вроде "если считать время не в секундах, а в минутах, то длительность суток в 60 раз уменьшится, а частота в 60 раз увеличится" или "если ось направить не вверх, а вниз, то глубины станут выражаться положительными числами, а высоты - отрицательными".
Если скорость шарика велика, то компоненты тензора будут большие, так как там в знаменателе 1-v², а v близка к 1. Если они большие, но не слишком, то можно применить линеаризованные уравнения, и получить отличие метрического тензора от "плоского". Компоненты этого тензора-разности должны быть малы, но заметны.
Например, если шарик массой в один килограмм мы разгоним до такой скорости, что его энергия станет равна массе Луны, то это нормально: гравитация Луны (и Земли, и даже Солнца) на расстоянии радиуса этого небесного тела может считаться малой, и приближение работает.
Здесь важно понимать, что значит "большой" и "не слишком". У этих понятий есть и чёткое математическое описание. При скорости, отличающейся от скорости света на малую долю, энергия сильно превосходит массу покоя. Например, в миллион раз. В итоге компоненты тензора умножаются на большой множитель "миллион", но у планеты или другого небесного тела энергия покоя сравнима и компоненты тензора имеют тот же порядок величины. А гравитация, которую тело создает, может считаться слабой.
В общем-то, в линейной задаче метрический тензор тем же преобразованием и получается из неподвижной системы отсчета. А в неподвижной он практический плоский, так как гравитация килограммового шарика ничтожно мала, тем более на расстоянии, равном радиусу Луны (например).
Если энергии действительно большие, и линейное приближение не годится, то ничего страшного. Сокращается всё, что нужно, так как в уравнения геодезических линий производные метрического тензора (с индексами внизу и с большим множителем) умножатся на обратный тензор (с индексами вверху и с маленьким множителем). Об этом в моей старой заметке (ссылка выше) написано правильно.
То есть, если на космической станции в невесомости парят яйца и вдруг "под" станцией на релятивистской скорости промчался скутер космического пирата, то яйца упадут и разобьются. Это плохо. Но никаких черных дыр — и это хорошо.
Кстати, как показывает подсчет выше, скорость должна быть очень близка к скорости света. Так, 0.99с дает множитель 7, 0.999с дает множитель 22, а 0.9999с дает множитель 30. Чтобы получить астрономические "массы", нужны соответствующие скорости.
Как это всё совмещается с инвариантностью? Ведь с точки зрения самого пирата его скутер ничего не весит (по сравнению с планетой).
Если провести подсчет, то получится, что летящий почти со скоростью света объект не притягивает объект, летящий параллельно в ту же сторону с той же скоростью. То есть то, что для пирата неподвижно, им и не притягивается. Точнее, притягивается крайне слабо, так, как и положено притягивать исчезающе малой (по сравнению с планетой) массе.
Не хотелось бы вдаваться в детали, так как это немного громоздко... Метрика получается такого вида:
ds² = (1-A)dt² - (1+A)dx² + 2Adxdt
Здесь тело летит вдоль оси х и мы положили dy=dz=0, то есть рассматриваем только линии, параллельные курсу. Но при dy² и dz² стоит такой же множитель, как и при dx². Число А — та самая поправка к метрике, которая и есть гравитация. Мы интересуемся светом, а для него ds=0. Поделив на dt, обозначим dx/dt через u: это координатная скорость света. Для нее уравнение
(1-A) - (1+A)u² + 2Au = 0
имеет два решения: одно для сонаправленного света, другое для противонаправленного, то есть одно больше нуля, другое меньше. Так вот положительное равно 1. Иными словами, (координатная) скорость сонаправленного с телом света равна скорости света в вакууме, а это означает, что в других направления скорости нет: свет не отклоняется этим телом. А вот встречный свет имеет скорость меньше (по величине это (1-A)/(1+A)), то есть отклоняется. Для массивных тел надо выписывать геодезические: это можно, но громоздко, см. книгу Толмена (хотя там эта задача не разбирается). Вывод тот же.
Далее, мы видим, что чашки упали и разбились, так как возникла при пролете пирата вполне заметная гравитация. Как это видит сам пират?
А для него это мы промчались мимо на релятивистской скорости. И у нас практически встали часы: секунды у нас очень-очень-очень длинные (по сравнению с его секундами). Если у нас чашки упали с высоты один метр и ускорение было около g (скажем, 8 м/с²), то падали они полсекунды. Но наша секунда для него длилась очень долго. Давайте прикинем: если ускорение 8, а расстояние, на котором он пролетел, скажем, близко радиусу Земли, то энергия кораблика близка к массе Земли. Масса Земли 6∙10²⁴кг, а масса скутера 6 тонн, то есть в 10²¹ раз меньше. Этот множитель есть 1/(1-v²), откуда можно извлечь скорость скутера, но это малоинтересно: почти скорость света, и всё тут. Корень из этой величины есть фактор Лоренца, и это 30 миллиардов примерно. То есть секунда пирата для нас равна 30 млрд секунд наших, или тысяче лет (в году примерно 30 миллионов секунд). И наоборот.
То есть для нас чашки падали полсекунды, а для него они падали пятьсот лет. В общем-то, тело в 10²¹ раз легче Земли на расстоянии, равном ее радиусу, создает ускорение свободного падения в то же число раз меньше g, а время падения обратно пропорционально корню из ускорения. То есть оно будет в 30 млрд раз больше. Не полсекунды, а пятьсот лет.
Конечно, за пятьсот лет пират и станция разлетятся очень далеко. Но это несущественно: об одновременности им тоже не договориться.
Обсудим еще такой нюанс. Пролетающий мимо нас скутер создает ускорение и перпендикулярно своему курсу, и параллельно: сначала навстречу себе, когда приближается, потом в ту же сторону, куда летит (когда отдаляется). В итоге параллельная компонента в целом равна нулю. Во всяком случае, для тел пренебрежимо малой массы, в общем случае уверенности у меня пока нет, выясню — напишу. А вот перпендикулярная компонента в целом равна удвоенному ускорению, создаваемому телом с данной энергией в виде массы покоя.
Еще один момент. При расчете ускорения в данной точке необходимо учитывать запаздывание: для данного времени t нужно рассматривать тензор энергии-импульса в более ранний момент: такой, чтобы свет успел дойти до точки. Пусть тело летит справа налево; поскольку для тела тензор энергии-импульса отличен от нуля только в пределах тела, то придется помещать тело не туда, где оно реально есть в момент t, а правее. В итоге при приближении воздействие тела придет почти одновременно с ним, и ускорение будет ударным. А потом тело удаляется, потихоньку гася ускорение вправо и увеличивая в перпендикулярном направлении.
Теперь совершенно очевидно, почему не происходит коллапс, даже если энергия внутри сферы такая, что радиус Шваршильда больше радиуса этой сферы. Если ничто не мешает, коллапс происходит; только медленно. Скажем, набор шариков массой в один килограмм притягиваются друг к другу, и когда-нибудь столкнутся. Но не скоро. Допустим, через 500 лет. Разогнав их до скорости света, мы заставим их столкнуться быстро. За полсекунды! Но наши полсекунды это 500 лет у них.
А если есть, чему препятствовать коллапсу, то всё ещё проще. Для коллапсирующей звезды там ускорение свободного падения (тяжесть) борется с давлением. Для разогнанного шарика тоже, но ускорение за счет замедленных часов получается маленькое. И прочность шарика ему легко противостоит. Для шарика оно маленькое, потому что его масса-энергия мала, а для нас — потому, что часы на шарике встали.
Всё просто, на самом деле.
