Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу рассказать Вам об одной удивительной теореме, в которой проявляется чистая гармония чисел. Эта проблема была сформулирована немецким математиков Альфредом Месснеров в 1951 году.
Записывая ряд натуральных чисел, он заметил, что если из него удалить каждое четное число, то получится весьма интересная конструкция:
Чем же она интересна, спросите Вы? А истина кроется в деталях! Давайте найдем частичные суммы и обратим внимание на них:
Каждая из частичных сумм является квадратом последовательных натуральных чисел.
Конечно, этот факт - не новый, ведь многим известна доказываемая по индукции формула:
Однако, оказывается, что после определенной модификации этот алгоритм работает для выбрасывания из арифметического ряда каждого n-ного числа.
Давайте для примера выбросим каждое четвертое число и найдем частичные суммы:
Теперь запишем этот ряд и выбросим каждый третий элемент, повторив сложение:
Вы уже догадались, что нужно сделать? Правильно, выбросить все вторые числа и опять сложить оставшиеся:
Да! Мы получили последовательность четвертых степеней натуральных чисел! Невероятно, но с помощью такой манипуляции можно получить ряды произвольных степеней!
Кстати, Перрон известен своим необычным парадоксом, в котором показано, что если существует наибольшее положительное число, то оно равно единице. Конечно, смысл этого парадокса в том что не всегда можно предполагать существование чего либо, иначе можно прийти к неразрешимым проблемам.
Первое доказательство этого факта было дано немецким математиком Оскаром Перроном уже 1952 году. Однако интересующиеся математикой люди до сих пор не могут понять, как за две тысячи лет развития этой науки такой простой факт не был вскрыт раньше.
Кстати, если по алгоритму Перрона удалять только треугольные числа, то получится ряд последовательных факториалов! Спасибо за внимание!