Приветствую Вас, уважаемые Читатели! В прошлом материале я рассказывал Вам про причуды, которые возникают, если пытаться разложить на простые множители элементы кольца целых чисел с добавлением элемента √6
Кое-что необычное, конечно было, но оно всё равно не выходило за рамки основной теоремы арифметики: разложение на простые множители всё так же было единственным.
Сегодня я покажу Вам, как эту теорему разбить в пух и прах одним движением руки.
Арифметические операции (умножение и сложение) определены так же, как и в прошлом случае без изысков.
Чтобы "начать копать" под основную теорему арифметики, давайте запишем возможные разложения числа 6 в этом расширенном кольце:
В прошлый раз у нас так же получилось написать нечто похожее, но противоречие удалось разрешить, т.к. у нас получилось разложить все сомножители на еще более простые кирпичики, которые и выполнили роль простых чисел. Получится ли сделать это сейчас?
Для этого удобно будет ввести понятие "норма" для чисел расширенного кольца:
Норма всегда представляет из себя целое число и обладает полезным свойством: норма произведения равняется произведений норм:
Теперь воспользуемся последним равенством и попытаемся разложить на множители число 2:
Теперь наша задача в том, чтобы попытаться выяснить, можно ли представить число 4 в виде произведения указанных множителей. Понятно, что в целых числах 4 можно разложить двумя вариантами:
Разложить в целых числах на 2х2 не получится при всём желании, а вот на 4х1 - вполне себе. Однако, такое разложение нас не интересует из-за своей тривиальности.
Еще можно припомнить, что 1 - не является простым числом.
Что же с остальными претендентами? Да в целом, картина аналогичная!
Опять всё те же тривиальные разложения, которые нас нисколько не интересуют.
Получается, что в данном расширенном кольце разложить число 6 на простые (мы как раз доказали, что они простые!) множители можно двумя существенно различными способами.
Это позволяет сделать вывод, что основная теорема арифметики в нашем мире не работает!
Однако у этой теоремы есть переформулировка, которая позволяет расставить все точки над i. Первый шаг к этому обобщению сделал Эрнст Куммер.
В попытках доказать великую теорему Ферма он столкнулся с тем, что проблему единственности разложения в таком кольце можно решить, добавив в кольцо еще парочку особых элементов. Эти элементы он назовет идеальными числами. Впрочем, это уже совсем другая история, к которой мы вернемся чуть позже.
- Спасибо за внимание!