Одна красивая задача попалась нам на разборе ОГЭ. Давайте посмотрим на разные варианты ее решения.
Итак, сама задача. Окружность с центром О1 касается оснований ВС и AD и боковой стороны АВ трапеции ABCD. Окружность с центром O2 касается сторон ВС, CD и AD. Известно, что АВ = 30, ВС = 24, CD = 50, AD = 74.
а) Докажите, что прямая О1О2 параллельна основаниям ВС и АD трапеции АВСD.
б) Найдите длину отрезка О1О2.
Строим трапецию и понимаем, что она совершенно обычная, не равнобедренная, не прямоугольная, боковые стороны различны по длине.
Докажем, что прямая О1О2 параллельна основаниям
Вариант 1
1) Так как О1Н и О2К - радиусы, являющиеся половинами "вертикальных" диаметров, касаются нижней стороны АD, то угол между радиусом и АD равен 90 градусам (равно как и угол между диаметром и АD). Об этом говорит теорема о касательной и радиусе, проведенной в точку касания.
2) Диаметры данных окружностей, таким образом, являются высотами трапеции. А радиусы - половинами высоты трапеции.
3) Тогда мы имеем два отрезка прямых О1Н и О2К, одновременно перпендикулярных третьей прямой. Следовательны, О1Н параллельна О2К. Также исходя из пункта 2) О1Н = О2К, как половины одной и той же высоты трапеции. Следовательно, О1О2КН - параллелограмм (по признаку /две стороны параллельны и равны/). Это также и прямоугольник, но нам достаточно для доказательства того, что это параллелограмм.
4) Следовательно О1О2 параллельна АD, так как противоположные стороны параллелограмма параллельны. А, значит, этот отрезок параллелен и ВС. что и требовалось доказать.
Вариант доказательства 2
Пункт 1) и 2) первого доказательства повторяем. Получаем, что О1Н=О2К.
3) Предположим, что О1О2 не параллельна прямой АD. Проведем через точку О1 прямую а, параллельную АD. И проведем из точки О2 перпендикуляр к AD, который пересечет прямую а в точке Р. По свойству параллельных прямых расстояние от Р до AD, то есть РК, равно О1Н. Следовательно, О2К больше, чем О1Н и равные радиусы оказались не равными :) Пришли к противоречию.
Значит, О1О2 на самом деле параллельна АD, а, следовательно, параллельна и ВС, что и требовалось доказать.
Комментарий. В принципе, можно сказать, что точки О1 и О2 равноудалены от оснований трапеции. А также мы знаем, что точки средней линии трапеции равноудалены от оснований. И из этого возможно сделать вывод, что О1 и О2 принадлежат средней линии. А средняя линия параллельна основаниям.
Но, строго говоря, равноудаленность средней линии от оснований - это её свойство, а не признак. Поэтому такое доказательство, может быть и "пройдет" на экзамене, но лучше и при использовании средней линии привести более строгую логику (либо "от противного", либо как-то еще).
Теперь найдем длину самого отрезка О1О2.
Вариант решения 1.
Построим перпендикуляры О1М и О2N к сторонам АВ и CD соответственно. Обозначим верхние точки пересечения вертикальных диаметров с ВС через Р и Т (см. рис).
Получим, что ВР = ВМ (а также ТС = СN, ND = DK, AH = AM), как отрезки касательных, проведенных из соответственных точек вне окружности в точки касания. Обозначим МВ через "икс", ТС через "игрек", тогда получим, что ND=KD=50-y, AM=AH=30-x.
Для чего мы это делаем?
Смотрите, мы знаем длины ВС и АD, правильно? Но теперь их можно выразить (2 величины), используя Х и Y! И у нас получится два уравнения, столько же, сколько и неизвестных! Значит, система будет иметь решение. Получим, что ВС=х+0102+у=24, а также АD=(30-x)+O1O2+(50-y)=74:
Итак, О1О2=9. Задача решена!
2-й вариант нахождения О1О2
Проведем через О1О2 среднюю линию трапеции. Она пересечет сторону АВ в точке F, а сторону CD в точке Е.
Отрезок ВО1 равноудален от сторон АВ и ВС (см радиусы О1М и О1Р). Значит, ВО1 - биссектриса. А, следовательно, углы АВО1 и О1ВС будут равны. Обозначим эти углы греческой буквой "бета". Аналогично будут равны углы "альфа", а также углы ВСО2 и О2СD, и, кроме того, углы СDO2 и O2DA.
Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АD и ВС и секущей АВ равна 180 градусам, откуда получим, что сумма "альфа" + "бета" равна 90 градусам. А, значит, и угол АО1В - прямой. Аналогично, прямой и угол СО2D.
Но тогда получается, что О1F - медиана (АF=FD), проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника АО1В. Значит, она равна половине гипотеназу, то есть 15. Аналогично можно сказать, что О2Е - медиана, проведенная также из вершины прямого угла треугольника СО2D, и она тоже равна половине гипотенузы, то есть 25-ти!
Длина же самой средней линии FE равна полусумме оснований, то есть (74+24):2=49.
Вычитая из общей длины получившиеся отрезки, получим, что О1О2=49-25-15=9. Получили тот же самый ответ.
Итак, О1О2=9. Задача решена!
На этом пока всё.
Пишите, пожалуйста, все ли здесь понятно? Какие остались вопросы?
Какие еще есть идеи решения этой задачи?
Заранее спасибо и до встречи в новых заметках и статьях!
