Равномерное движение материальной точки по окружности
Угловые координаты
Для начала давайте рассмотрим движение точки по фрагменту окружности - дуге. Прежде всего помним, что вектор скорости тела в данный момент всегда касателен к траектории в точке положения тела в данный момент.
Пусть тело изначально находилось в точке 1 на окружности и имело скорость V. Не изменяя скорости оно перемещается в точку 2, которая находится на той же окружности. Если провести горизонталь, проходящую через центр окружности и прямую, проходящую через центр окружности и начальное положение тела (точка 1), то получиться начальный угол положения тела на окружности φ0.
Если же провести еще одну прямую, проходящую через центр окружности и точку конечного положения тела (точка 2), то между точками 1 и 2 получится угол Δφ. Очевидно, что угловая координата φ будет суммой углов φ0 и Δφ.
Очень часто при описании кругового движения пользуются именно угловой координатой, а не обычными осями координат. А вот угловые меры будут непривычными. Углы будем измерять в радианах. Вспомним, что угол в 180 градусов равен π радиан. Число π как было, так и осталось равное 3,1415926535897932384626433832795 (это то, что калькулятор выдал). Именно столько радиан содержится в 180 градусах.
Но в радиальных углах есть удобство. Длина дуги, которая опирается на угол φ может быть посчитана по формуле:
Вспомните, как считается длина окружности...
Угловая скорость
При движении по окружности угол является угловой координатой. Ведь если мы знаем от чего отсчитывается угол, знаем радиус, то мы точно определим положение тела. А если есть угловые координаты, то есть и угловая скорость:
Угловая скорость - это скорость изменения угла положения материальной точки. Отсюда получается, что если мы знаем угловую скорость и начальный угол положения, то можно определить угол нахождения материальной точки в любой момент времени:
Последняя формула является уравнением угловой координаты от времени. Но неужели через этот радиальный угол нужно выражать угловую скорость? Далеко не всегда. Еще раз взгляните на рисунок, а именно на дугу 1-2, которая опирается на угол Δφ. Найдем ее длину:
Если по этой дуге материальная точка движется с постоянной скоростью V, то время такого прохождения этой дуги выразить просто:
С другой стороны, тело проходит угол Δφ с угловой скоростью ω за время:
Это одно и то же время, так как все это одно и то же движение. Приравняем времена:
Направление угловой скорости на рисунке указывают так:
Занятие 2