История науки знает несколько ключевых эпизодов, в которых нечёткость определений приводила к парадоксам, и приходилось уточнять определения. Даже не несколько, а много: в общем-то, любой парадокс является таким эпизодом. Но это не только парадоксы: понятие "измерить" пришлось уточнять несколько раз, например. Применительно к теории относительности, мы не можем просто сказать "да давайте поместим синхронизированные часы тут и там!" — даже понятие "там", в смысле направлений и расстояний, надо уточнять. В какой системе отсчета измерение производится, как именно, и в каких допущениях. Минимальные отличия могут привести к парадоксам — но это не проблема теории, а проблема нечёткой постановки задачи.
Перельман в своей уже классической "Занимательной физике" обсуждает вопрос о размере Луны: с блюдце, с тарелку, с монету, с апельсин. Кажется, что вопрос имеет смысл, но это не так. Сравнение предметов по видимому размеру бессмысленно, если не указаны расстояния. Сравнивать можно угловые размеры, это да — но угловой размер апельсина может быть любым от 0 до 180 градусов, а то и больше, в зависимости от расстояния от глаза до него. Иллюзию разрешимости создает неявное предположение о "типичном расстоянии", с которого мы как правило видим апельсин: метр, два. Но даже в этих пределах угловой размер разный. Сравнивая Луну с апельсином, мы предполагаем длину вытянутой руки. Впрочем, Луна и правда выглядит разного размера, и у этого эффекта есть несколько объяснений, в которые мы здесь вдаваться сейчас не будем.
Однако эпизоды таковые хорошо известны, тогда как проблема вездесуща. Давайте пробежимся по известным, но подзабытым фактам.
Парадокс лжеца в классической логике. Утверждение "Это утверждение ложно" не может быть ни истинным, ни ложным — противореча принципу исключённого третьего. Спасая логику, приходится запрещать самоприменимость, но пара утверждений А: "Утверждение В ложно" и В: "Утверждение А истинно" не обладают дефектом самоприменимости, однако проблема сохраняется: если А истинно, то В ложно, что означает ложность А; а если А ложно, то В истинно, то есть истинно и А. В итоге А не может быть ни тем ни другим, и то же верно относительно В. Если вы откроете учебник по формальной логике, то увидите много зауми, направленной как раз на непротиворечивое построение теории высказываний, предикатов и тому подобное.
Парадоксы теории множеств. Вроде как всем понятно, что такое множество, но если начинать копаться, вылезают парадоксы. Например, если множество содержит себя в качестве элемента. И запрещать это бессмысленно, проблема выстрелит в другом месте. Более тонкой вещью являются аксиома выбора и гипотеза континуума: как я уже рассказывал, их можно принимать или отвергать, и это никак не влияет на "всё прочее", в резком противоречии с интуицией.
Парадокс корабля Тезея, если правильно помню, или парадокс кучки слив. Если Тезей меняет части своего корабля, то в какой момент этот корабль становится новым? В нём постоянно есть старые части, и есть новые. А начиная с какого-то момента, там нет оригинальных, исходных частей. Новый это корабль или старый?
Особенную остроту парадоксу придает идея киборгизации. Нетрудно вообразить себе искусственные конечности (наработки уже есть) и органы; по мере замены, человек меняет внешний вид, но когда это уже другой человек? А что, если заменить всё, включая мозг, но сохранив личность? А если удастся скачать сознание в компьютер? А если научатся создавать тела?
Да и вообще, клетки тела обновляются, и если предположить, что через сколько-то лет все клетки обновятся — это тот же ты?
Можно сказать что-то о душè, но у этого понятия нет корректного определения...
Кучка слив — с какого числа начинается? Вроде всем понятно, что это кучка, но...
Можно поиграть, пытаясь дать строгое определение, но это можно сделать несколькими способами, в зависимости от того, что надо доказывать.
Можно кучкой считать любое множество слив. Тогда разбросанные по столу сливы — кучка. Неестественно, но для каких-то задач может быть правильно именно так. Кого-то раздражает фраза "пустое множество", но это исключительно проблема неверных ассоциаций. По-английски set — очень многозначное слово, но это что-то вроде "набора", связанной системы. Намека на "много" нет. По-итальянски insieme — это вообще-то "вместе". Siamo insieme — мы вместе (идем куда-то) или мы — пара в смысле отношений. А еще это "множество" в математическом смысле, и тоже нет намека на "много".
Можно потребовать связности: чтобы в множестве слив для любых двух слив нашлась последовательность слив от первой до второй, такая, что в ней две соседние сливы касаются друг друга. Тогда отдельные сливы или отдельные кучки одной кучкой не считаются, но зато рядок слив бочок к бочку — считается.
Можно определить кучку как связное множество слив, в котором есть сливы, не касающиеся стола, а только других слив. Тогда кучка будет "горкой", но к ней можно пристроить рядок слив, и это может кому-то не понравиться.
Можно потребовать, чтобы любая слива либо не касалась стола, либо касалась сливы, которая не касается стола. Вот это уже, пожалуй, кучка в интуитивном представлении. Давайте сформулируем:
Кучкой слив на горизонтальной поверхности называется связное множество слив, в котором любая слива либо не касается поверхности, либо касается сливы, которая не касается поверхности, при этом множество слив, не касающихся поверхности, не пусто.
Можно определить кучку как тетраэдр из четырех слив либо как кучку, которой касается еще одна слива. По-видимому, это эквивалентное определение, но это надо доказать.
И не факт, что такое определение лучше тривиального. Пустое множество, пустой цикл и вообще идея нуля как тривиальной "базы индукции" оказалась исключительно полезной.
И надо ещё оговорить устойчивость кучки, иначе куб из слив придется считать кучкой, хотя он тут же развалится. А тогда множество сухих слив может быть кучкой, а такое же множество мокрых - нет, и опять мы уходим в дебри.
Так что много чего можно, и игра "дай определение-приведи контрпример" может быть довольно увлекательной. Для слив это именно игра, упражнение ума, но вообще это довольно серьезная вещь.
Скажем, что такое "граница множества"? Вроде понятно, а как определить строго? Может, множество точек, любая окрестность которых пересекается как с множеством, так и с его дополнением? Простыми словами, если шаг в одну сторону будет "вглубь страны", а шаг в другую сторону будет уже по территории соседней. Можно, и эквивалентное (с оговорками) определение: замыкание минус внутренность (замыкание - это присоединение тех точек, до которых можно дойти по территории страны, а внутренность - это те точки, из которых можно шагнуть в любую сторону, не покидаю территорию страны). Только надо оговорить понятия окрестности, замыкания и внутренности.
Всё хорошо, только границей множества рациональных чисел получается вся числовая прямая, границей отрезка будут его концы в топологии прямой, но весь отрезок в топологии плоскости или пространства (зависит от того, какие "шаги" допускаются: только по отрезку или в стороны тоже). А три области могут иметь одну и ту же границу.
Иногда может быть вполне реальная польза от "шевеления определений". К примеру, компактное множество можно определить как замкнутое и ограниченное, и для конечномерных пространств этого достаточно: можно доказывать полезные теоремы. Например, что непрерывная функция на компактном множестве имеет максимум и минимум. Или последовательность обязательно имеет сходящуюся подпоследовательность. Но для бесконечномерных пространств такое определение бесполезно. Замкнутое и ограниченное множество данными полезными свойствами не обладает. Компактность надо определить иначе: в конечномерном пространстве всё останется как было, а вот в бесконечномерном всё заработает.
Колмогоров дал определение вероятностного пространства. Вероятность — просто мера на некоторой системе множеств. Казалось бы, ну и что такого. Но теория стала теорией. Без этого она страдала серьезным недостатком: либо вероятность определена для слишком узкого класса событий, вроде карт и игральных костей, либо опирается на предел частоты, который неизвестно, существует ли. Об этом хорошо пишет Литлвуд:
Делаются попытки подменить понятие предела каким-то понятием "предела" в кавычках, в Пиквикском смысле. Но либо Вы имеете в виду обычный предел, либо перед Вами встает задача объяснить, как "предел" себя ведет, и Вы попадаете в тупик.
Сходимость функций можно и очень естественно определить поточечно: чтобы в каждой точке последовательность значений сходилась. Например, x⁻ⁿ. При n к бесконечности последовательность при каждом x≥1 сходится.
Но это, как оказывается, не лучший способ определить сходимость функциональной последовательности. А лучший зависит от задачи. Для непрерывных, например, это равномерная сходимость: в каждой точке, но не медленнее некоторой скорости. Тогда предел последовательности непрерывных непрерывен, и ещё кое-что сохраняется, и вообще это пространство С, для многих задач родное и естественное. А последовательность x⁻ⁿ в этом смысле не сходится (если x=1 входит в область).
А есть сходимость в среднеквадратичном, или в среднем, или почти всюду, или много еще как, но вот поточечная практически никогда не используется.
Множество и непрерывность, число и вектор, мера и предел, измерение и время, частица и поле, энергия и масса — все эти понятия долго уточнялись, пока не получили свои строгие определения, иногда несколько. В конце концов возникло понимание, что определение, как правило, не сводится к бытовым понятиям. Давая строгие определения, мы приходим к фундаментальным понятиям, а их определять приходится как-то иначе: их не к чему сводить.
Так что мнимая единица — это не "такое число i, что i²=-1". И не "корень из минус единицы". Очень смешно, когда яростно отрицают второе в пользу первого — и то, и другое суть пояснения, а не определения. Просто потому что из первого следует неверное равенство i=-i. Второе, в принципе, можно довести до строгой теории, по аналогии с тем, как строится теория отрицательных чисел на основе обозначения 0-1 символом -1. Но вообще-то обычно определяется сразу вся комплексная плоскость. У меня об этом были материалы. И там надо чётко понимать, что стоит за термином! Потому что экспонента однозначная функция, но у "е в степени х" есть множество значений.
И в физике без строгих определений давно каши не сваришь. Мало сказать "мы просто посмотрим" — надо оговорить, как смотреть, когда, что значит "смотреть". В итоге бытовые представления рассыпаются в пыль, и двигаться приходится "по приборам". Так Солнце оказалось абсолютно черным телом. А в математике "простые группы наиболее сложны".
В итоге, например, слияние двух черных дыр не является каким-то взаимодействием двух решений типа Шварцшильда. Это другое решение, которое простыми формулами не выражается, но две черные дыры — это одно вот такое пространство-время с двумя (до поры) сингулярностями и двумя горизонтами событий.
Аналогично и запутанные частицы не являются двумя независимыми частицами, которые разлетелись в разные стороны — это одно поле, решение уравнения, с двумя "горбами", которые мы называем частицами. Если дать строгое определение, то никаких парадоксов и не возникнет. НО чтобы хотя бы понять эти определения — надо долго учиться.
Часто парадокс рассыпается просто после четкой постановки задачи. Я приведу детский пример:
25-25=20-20
5(5-5)=4(5-5)
5=4
2*2=4
2*2=5
Если занудствовать, то первым шагом мы воспользовались распределительным законом в кольце целых чисел, вторым — тем, что деление обеих частей верного равенства на одно и то же ненулевое (упс!) число не нарушает равенства... всё. Ведь сокращение основано на правиле x/x=1, которое верно не для всех х.
Вот поэтому-то x/x никто не определяет как 1 для всех х. Хотя казалось бы.
А если бытовые представления годятся только для пояснений, то не лучше ли на них не опираться вообще, а использовать только для наглядности?
