Рассмотрим опять задачу Шварцшильда: одно тело массивное, второе — материальная точка существенно меньшей массы, движется под действием гравитационного поля, то есть в искривленном пространстве-времени по инерции.
Физическая скорость тела, то есть скорость в неподвижной системе отсчета рядом с ним, связана с энергией тела E такой формулой:
E² = (mс²)² (1 - a/r) (1 - v²)⁻¹.
Скорость (физическая скорость тела) выражена в долях с. Здесь а — гравитационный радиус. На больших расстояниях a/r почти нуль и получается обычная релятивистская энергия.
Эта энергия сохраняется при движении, что следует из симметрии самих уравнений. Поэтому при приближении к горизонту событий скорость неизбежно приближается к 1, то есть к скорости света.
Давайте посмотрим предел при малой (сравнительно с с=1) скорости. Пренебрегая более высокими, чем вторая, степенями, получаем
E = mс² (1-a/(2r)) (1+v²/2).
Или:
E - mс² = mс²v²/2 - mс²a(1+v²/2)/(2r) .
Обозначим через u=vc скорость в обычных единицах и пренебрежем еще произведением малого v² на малое же отношение a/r, полагая, что пробное тело далеко от центра массивного:
E - mс² = mu²/2 - ½mс²a/r .
Первое слагаемое справа — кинетическая энергия. Это классическое приближение! Вспоминая, что гравитационный радиус равен 2MG/с², приходим к
E - mс² = mu²/2 - GMm/r .
Энергия тела за вычетом энергии покоя (которая не меняется) равна сумме кинетической и потенциальной. Всё правильно. Вдали от массивного тела и при небольших скоростях энергия распадается на кинетическую и потенциальную, которые в сумме сохраняются.
Мы видим, что энергия тела в покое меньше энергии покоя в отсутствие гравитации. Вообще, если энергия тела меньше энергии покоя, то тело никуда уже не денется: отдалиться от гравитирующей массы оно не сможет, ведь на большом расстоянии энергия должна быть как минимум равна энергии покоя.
Если энергия тела равна энергии покоя, то тело может уйти на бесконечность. Соответствующая скорость называется второй космической скоростью. Формула для нее совпадает с ньютоновской, при данной массе тела и на данном расстоянии от его центра. В самом деле, энергия должна равняться mс², откуда следует
1-v² = 1-a/r, то есть v² = a/r.
Вспоминая, что гравитационный радиус равен 2MG/с², приходим к формуле u² = 2GM/r, где u =vc — скорость в обычных единицах.
Как мы уже обсуждали, это случайное совпадение с формулой из теории Ньютона. Ещё и потому, что у Ньютона тело с такой скоростью улетит в бесконечность независимо от направления скорости (только если это не радиальное падение на центр), а в ОТО это не так. В каких-то направлениях уход вообще невозможен. Например, для фотонной сферы (r=1.5a) вторая космическая скорость равна с√⅔≈0.817с, но свет, выпущенный в касательном направлении, на сфере и остается.
Вместо суммы потенциальной (энергии расстояния) и кинетической (энергии скорости) у нас "замес" из скорости и расстояния. Близ горизонта событий одна скобка стремится к нулю, так что должна (раз сохранение) стремиться к нулю и вторая, то есть скорость стремится к скорости света.
А вот фотон, улетающий вдаль от гравитирующего тела, энергию не теряет. Это важный нюанс. Шарик тоже не теряет, но шарик теряет кинетическую энергию (энергию скорости), приобретая потенциальную (энергию расстояния), и вдали они вполне по-классически разделяются. Фотон же скорость никогда не меняет, поэтому для него нет ни кинетической, ни потенциальной энергии, а только полная энергия, связанная через постоянную Планка с его, фотона, частотой. Энергия эта сохраняется, так что с какой он вылетел, с такой и прилетел. Представление, что свет краснеет, борясь с гравитацией, неверно.
Соответственно, частота фотона тоже одна и та же, и при испускании, и при прилете. Другое дело, что испускается фотон более красным, чем в отсутствии гравитации.
Частота — это время (точнее, обратная ко времени величина). Время на поверхности планеты идет замедленно, так что интервалы времени длиннее, а частоты ниже. Фотоны испускаются более красные, чем те же вещества излучили бы в отсутствии гравитации.
Энергия фотона (и любой безмассовой частицы) определяется свойствами того атома (или чего-то еще), что ее испустил(о). В присутствии гравитации шара эта энергия меньше на фактор (1-a/r), где a — гравитационный радиус шара, а r>a — расстояние до его центра. Соответственно, относительное красное смещение, если вы ловите фотон где-то на другом расстоянии R, равно a(1/r-1/R). Формула вроде как совпадает с классической, разность потенциалов налицо, но есть отличия. Фотон не теряет энергию по ходу полета, и на этом нюансе основан парадокс, который мы обсудим в другой раз.
Про эти нюансы много писал академик Окунь, но довольно-таки вскользь, а я немного поясняю.
Не за что.
