Можете верить или нет, но в очередную среду наткнулся на машину времени. Во дворе стоял карантин, делать было нечего - так я сорвался и рванул в будущее: узнать, какая судьба меня ждет спустя 7 лет. Увидел, что хотел увидеть, но остался один вопрос, что сегодня за день недели?
Для неопытных может показаться пугающим посчитать день недели через столько лет, но сделаем глубокий вдох и попробуем разобраться, что можно сделать.
Первое, что бросается в глаза, так это цикличность. Каждые 7 дней все начинается по-новой. Как будто если бы вы шли по кругу, то в какой-то момент пришли бы в место, откуда начали.
Теперь давайте обозначим дни недели числами: понедельник - 1, вторник - 2, ..., воскресенье - 7. Учитывая нашу закономерность, мы можем ввести собственное сложение, которое назовем сложением по модулю 7 (кому-то может показаться странным тот факт, что мы вводим новое сложение, но можете успокоиться, это обыкновенная практика у математиков) и будем записывать это как a + b = c (mod 7) (mod здесь нужен, чтобы различать обыкновенное сложение от нашего), а читается это так: "a + b равно c по модулю 7".
Примеры:
- 3 + 7 = 3 + 14 = 3 (mod 7); Если сегодня среда, то через неделю или 2 недели также будет среда
- 5 - 2 = 3 (mod 7); Если сегодня пятница, то позавчера была среда.
- 11 = 4 (mod 7); Постепенно мы выходим за рамки представлений дней недели (так часто у математиков и бывает: они переносят жизненные ситуации в математику, а наша наука свою очередь дополняет ее, выходя за пределы), но это пока что можно объяснить для себя, представив 11 как сумму 4 и 7, тогда будет логичным, что, если сегодня четверг, то через неделю будет также четверг.
- 1 + 26 = 1 + (5 + 21) = (1 + 5) + 7*3 = 6 (mod 7); Если сегодня понедельник, то через 3 недели и 5 дней будет суббота.
Догадливые могли уже заметить, что сложение по модулю - это взятие остатка от результата по этому модулю. В последнем примере мы могли поделить 27 на 7 и получить в остатке 6, откуда и следует ответ. Но можно мыслить и дальше. Так как 26 = 5 (mod 7), то мы могли переписать пример в таком виде 1 + 26 = 1 + 5 = 6 (mod 7).
Поздравляю, вы познакомились с самой простейшей арифметикой остатков! Ачивка получена.
Наконец мы готовы посчитать, какой день недели будет через 7 лет, если сегодня среда. Нашу задачу мы разобьем на подзадачи, посчитав 365 = 350 + 14 + 1 = 1 (mod 7). Не забыв про високосный год, получим:
3 + 365*6 + 366 = 3 + 6 + 2 = 4 (mod 7). Ура! Будет четверг!
Итоги: помимо сегодняшней задачи, вариаций, где помогла бы арифметика остатков много. Теория чисел сама по себе - далеко идущая сфера, применимая к криптографии, вычислительной математике и информатики.