Центроид (центр равных масс) точек M₁, M₂, ..., Mₙ — такая точка G, что сумма векторов GM₁ + GM₂ + ... + GMₙ = 0.
Медиана тетраэдра — отрезок, соединяющий его вершину с центроидом противолежащей грани.
Бимедиана тетраэдра — отрезок, соединяющий середины его скрещивающихся ребер.
Утверждение
Докажите, что четыре медианы и три бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке — центроиде вершин тетраэдра, причем центроид делит бимедианы тетраэдра пополам, а медианы тетраэдра — в отношении 3 : 1, считая от вершин тетраэдра.
Доказательство
Пусть дан тетраэдр общего вида ABCD. Построим сечение CDM₁, где M₁ — середина ребра AB.
Рассмотрим △CDM₁. Согласно теореме Чевы отрезки M₁M₂, DG₁ и CG₂ пересекаются в одной точке при выполнении условий
CM₂ : M₂D = 1 : 1, DG₂ : G₂M₁ = 2 : 1, M₁G₁ : G₁C = 1 : 2,
где M₂ — середина ребра CD, G₁ и G₂ — центроиды граней ABC и ABD соответственно.
Точка пересечения чевиан DG₁ и CG₂ делит их в отношении 3 : 1, а чевиану M₁M₂ — пополам. Почему?
Построим сечение BCM₄, где M₄ — середина ребра AD.
Аналогичное применение теоремы Чевы обосновывает, что отрезки M₃M₄, CG₂ и BG₃ пересекаются в одной точке, причем точка пересечения чевиан CG₂ и BG₃ делит их в отношении 3 : 1, а отрезок M₃M₄ — пополам.
Какое сечение необходимо провести, завершая доказательство, для медианы AG₄ и бимедианы M₅M₆, где G₄ — центроид грани BCD, M₅ и M₆ — середины AC и BD соответственно?
Также предлагается самостоятельно доказать, что сумма векторов
GA + GB + GC + GD = 0,
где G — точка пересечения медиан и бимедиан тетраэдра.