Возьмем, к примеру, гипотезу о двойных простых числах, которая утверждает, что существует бесконечно много пар простых чисел, разделенных на 2 (например, 3 и 5 или 11 и 13). Элленберг объясняет, что для того, чтобы эта гипотеза была верной, не должно быть никакой таинственной «силы», объединяющей простые числа; просто не нужно, чтобы таинственная сила раздвигала их. Или возьмем гипотезу Римана, которая гласит, что бесконечное число нетривиальных корней некоторой комплексной функции лежит на одной прямой. Когда так говорится, гипотеза звучит как загадка. Почему бесконечное число чисел должно совпадать?
Тайна уменьшается, как только вы понимаете, что каждый ноль этой функции кодирует глобальную информацию о распределении простых чисел - и один ноль вне линии будет представлять бесконечное число простых чисел, сгруппированных вместе в астрономически невероятно кажущемся виде.
Так что, если хотите, один таинственный паттерн должен быть там, чтобы предотвратить второй паттерн, который был бы еще более таинственным.Конечно, не все математические загадки имеют характер строгого доказательства того, что предсказывает здравый смысл. В 1978 году Джон Маккей из Университета Конкордии в Монреале заметил, что число 196 883 появилось в двух совершенно не похожих друг на друга частях математики. Конечно, это было просто совпадение? В 1998 году Ричард Борчердс - в настоящее время в Калифорнийском университете в Беркли - выиграл медаль Филдса, в основном за доказательство того, что нет, это не так (по вдохновенным предположениям британских математиков Джона Конвея и Саймона Нортона, которых они назвали «догадка чудовищной»).
Математика, как вы могли бы сказать, - мечта теоретика заговора: это та часть жизни, где, когда вы видите, что вещи совпадают, шансы превосходны, что это не просто совпадение, что есть глубокое объяснение, ожидающее своего раскрытия. С другой стороны, именно потому, что весь объект пронизан неслучайными образцами, если вы потратили достаточно времени на математику, вы можете перестать удивляться им. Вы можете увидеть их как часть местности.
Поэтому, возможно, правильный вопрос: после того, как математическая модель была объяснена - не только доказана, но, скажем, доказана 20 различными способами, действительно исчерпывающе понята, как теорема Пифагора, - есть ли еще остаточная тайна? Я бы сказал, что есть, но нужно приложить некоторые усилия, чтобы понять это.
Чешский теоретик обвинил теоретиков-компьютерщиков, в том, что они верили в гипотезу «P ≠ NP» - основную недоказанную гипотезу о границах эффективных вычислений - как вопрос группового мышления и идеологии, не имея рациональных оснований для нашего предубеждения. Само по себе это обвинение не так примечательно; Мотл, конечно, не одинок в своем мнении. Но он пошел дальше. Хотя он признал, что в непрерывной математике, близкой к физике, могут быть причины, по которым утверждения верны, Мотл утверждал, что по мере удаления от физики математика превращается в неорганизованный беспорядок предложений.
Есть утверждения, которые, как оказалось, были доказаны, и поэтому мы можем согласиться. Но если утверждение еще не было доказано или опровергнуто, то нет никакого способа даже догадаться, лучше, чем случайность, каким образом это получится. Нет никаких действительных аналогий с какими-либо ранее доказанными утверждениями, нет общих закономерностей, только одна чертова лемма за другой.
Да, иногда люди удивляются; сюрпризы являются частью острых ощущений от того, что мы делаем. Но сюрпризы — это сюрпризы только из-за их редкости, из-за всех других случаев, когда все складывалось так, как ожидали эксперты.
И все же редкость сюрпризов сама по себе является сюрпризом, настоящей загадкой. Априори математика могла бы быть такой, как сказал Мотл, с заявлениями, которые нам небезразличны, так как в них отсутствуют какие-либо понятные с человеческой точки зрения причины быть правдой или ложью. В целом, однако, это не так. Почему?
Мы можем поставить точку еще острее. Математик австрийского происхождения Курт Гедель учил, что, учитывая любой математический вопрос, на который еще не ответили (за исключением вопросов, которые сводятся к конечному вычислению, например, есть ли у белых выигрышный ход в шахматной игре), возможно, что ответ недоказуем из обычных аксиом математики. И все же, спустя 85 лет после того, как Гедель обнаружил этот гремлин в центре математики, факт в том, что он в основном оставался бездействующим.
Теорема Геделя работает только в специализированных ситуациях: для вопросов об аксиомных системах, с которыми вы столкнетесь, только если вы ищете недоказуемые истины; или вопросы в теории трансфинитных множеств, на которые можно было бы возразить, никогда не требовалось иметь определенных ответов; или вопросы, которые о том, является ли конкретная строка из 0 и 1 без шаблонов (но которые по этой самой причине не имеют общего интереса, если мы не заботимся по какой-то причине об этой строке без шаблонов); или вопросы, которые связаны с быстро растущими функциями.
Так быть не должно (или, может быть, так и было, но не понятно почему). Априори, последняя теорема Ферма, гипотеза Пуанкаре и почти все остальные математические высказывания не могли бы быть ни доказуемыми, ни опровергаемыми: если это правда, то они совершенно не связаны со всеми другими интересными истинами, островом для себя, с единственным вопросом (вопрос вкуса!), должны ли мы добавить это как новую аксиому. Но так не получилось. Вместо миллионов островов математики обнаружили суперконтинент с несколькими островами тут и там у побережья - и многие из островов, когда их исследовали дальше, в конце концов оказались связаны с материком.
Итак, еще раз: почему? Одним из возможных ответов является эффект выбора. Конечно, есть много математических частей без шаблонов, но именно по этой причине эти части не интересны людям. Части, которым мы учим студентов, помещаем в учебники, рассуждаем в таких эссе, как этот, и т.д. — это те части, которые оказались взаимосвязанными.
Точно так же никто не задается вопросом, почему люди, которые снимаются в биографических фильмах, так часто оказываются живыми, увлекательными; если бы они этого не сделали, о них не было бы историй.
Это кажется частью ответа. Но это не может быть полным ответом, потому что он не учитывает то, что пережили все математики, а именно частоту, с которой оказываются поразительные образцы и связи между, казалось бы, не связанными понятиями, даже когда никто не думал, что стоит их ожидать заранее, даже когда никто не наметил территорию и не заверил опоздавших, что такие образцы были там.
